Force de Laplace

Électromagnétisme
mardi 20 février 2007
par  Laurent Progin, Ruben da Costa, Yannick Zillweger
popularité : 3%

Calcul de la force de Laplace et du champ magnétique grâce à un dispositif créant un champ grâce à des aimants.


Force de Laplace

Objectifs :

Dans ce laboratoire nous allons calculer la force de Laplace et le champ magnétique en utilisant un dispositif générant un champ magnétique grâce à des aimants placés au bout du conducteur électrique.
Un conducteur électrique placé dans l’entrefer d’un aimant et parcouru par un courant électrique subit une force appelée force de Laplace. En mesurant le moment de force qui compense le moment de force de Laplace, il est possible de déterminer le champ magnétique dans lequel est placé le conducteur.


Matériel :

- Ampèremètre
- Source de tension
- Dispositif générant un champ magnétique grâce à des aimants

Voici le dispositif :

- Un poids de $1,8 g$
- Des câbles pour relier l’ampèremètre, la source de tension et le dispositif entre eux
- Mathematica pour les graphiques et calculs de B (= champ magnétique)


Expérimentation :

On commence par ajuster le conducteur électrique pour qu’il soit parallèle à la petite règle à côté de laquelle va se déplacer notre masse de $1,8 g$. Dès que cette mise à niveau est faite on peut commencer à avancer la masse de $0,01 m$ et dès qu’elle est à la distance souhaitée (de $0 m$ à $0,07 m$ par pas de $0,01 m$), on augmente le courant pour que ce dernier fasse monter le conducteur et dès qu’il est à nouveau parallèle à la réglette on lit le courant sur l’ampèremètre. On répète cette opération jusqu’à $0,07 m$.

Voici le tableau des différentes valeurs obtenues lors des mesures :

Distance $m$ Force de Laplace $N$ Courant $A$
0$\pm0.01 m$ 0 0
0,01$\pm0.01 m$ $176,58*10^{-5}\pm1*10^{-7} N$ 0,37$\pm 0,01 A$
0,02$\pm0.01 m$ $353,16*10^{-5}\pm1*10^{-7} N$ 0,7$\pm 0,01 A$
0,03$\pm0.01 m$ $529,74*10^{-5}\pm1*10^{-7} N$ 0,97$\pm 0,01 A$
0,04$\pm0.01 m$ $706,32*10^{-5}\pm1*10^{-7} N$ 1,18$\pm 0,01 A$
0,05$\pm0.01 m$ $882,9*10^{-5}\pm10*10^{-7} N$ 1,48$\pm 0,01 A$
0,06$\pm0.01 m$ $1059,48*10^{-5}\pm1*10^{-7} N$ 1,75$\pm 0,01 A$
0,07$\pm0.01 m$ $1236,06*10^{-5}\pm1*10^{-7} N$ 2,04$\pm 0,01 A$

NB$_{1}$ : La distance en $m$, est la distance séparant la masse de $1,8 g$ de l’axe de rotation du conducteur (= endroit où le conducteur monte ou descend en fonction de la force de Laplace exercée à l’extrémité placée dans l’entrefer).

Pour calculer la force de Laplace, nous utilisons les formules suivantes :

- $M_{1}=M_{2}$

NB$_{2}$ :$M_{1}$ est le moment de force généré par la Force de Laplace et $M_{2}$ est le moment de force opposé créé avec le déplacement de la masse le long du conducteur. Pour plus d’informations vous pouvez regarder la théorie dans le Protocole de laboratoire.

- $M_{1}=F_{Laplace}*d_{1}$
- $M_{2}=m*g*d_{2}$
- $F_{Laplace}*d_{1}=m*g*d_{2}$
- $F_{Laplace}=\frac{m*g*d_{2}}{d_{1}}=i*l*B$

Dans la formule donnée ci-dessus chaque lettre correspond à une donnée qui est :

- $m=0,0018 kg$
- $g=9,81 \frac{m}{s^{2}}$
- $d_{1}=0,1 m$ (distance entre la masse et l’axe de rotation du conducteur)
- $d_{2}=distance$ (voir le NB$_{1}$)
- $i=courant$
- $B=$champ magnétique
- $l=0,05m$ (longueur utile du conducteur placé dans l’entrefer du bloc aimanté)

Grâce à l’équation $F_{Laplace}*d_{1}=m*g*d_{2}$, nous pouvons dessiner un graphique avec la Force de Laplace en fonction du courant :

Maintenant pour obtenir la droite d’ajustement aux points de mesure on utilise la fonction Fit de Mathematica. On obtient alors :

$0,00593323 x$ et la pente est $0,00593323$

Cette pente est égale à $B*l$ (car dans l’équation $F_{Laplace}=i*l*B$, $i$ correspond au $x$ de la droite d’ajustement et $B*l$ correspond donc à la pente de la droite) et maintenant on peut trouver le champ magnétique B en posant :

$B=\frac{pente}{l}=\frac{593323*10^{-8}}{0,05}=1186,65*10^{-4} T$

Pour calculer l’incertitude de B, on utilise Mathematica qui nous donne la formule suivante :

$Incertitude_{B}=\Delta_{l}*|\frac{F_{Laplace}}{i*l^{2}}|+\Delta_{i}*|\frac{F_{Laplace}}{i^{2}*l}|+\Delta_{F_{Laplace}}*|\frac{1}{i*l}|$

$\Delta_{F_{Laplace}}$, $\Delta_{l}$ et $\Delta_{i}$ sont les incertitudes que nous avons estimées. La seule donnée qui est constante quelque soit la $F_{Laplace}$ ou le courant est $\Delta_{l}$ qui est égale à $0.002 m$

Maintenant nous n’avons plus qu’à calculer l’$Incertitude_{B}$ pour chaque $F_{Laplace}$ et le courant correspondant. Nous obtenons le tableau suivant :

$F_{Laplace}$$N$ $\Delta_{F_{Laplace}}$$N$ $i$$A$ $\Delta_{i}$$A$ $Incertitude_{B}$$T$
0 0 0 0 0
$176,58*10^{-5}$ $1*10^{-7}$ $0,37$ $0.01$ $6403,04*10^{-6}$
$353,16*10^{-5}$ $1*10^{-7}$ $0,7$ $0.01$ $5480,44*10^{-6}$
$529,74*10^{-5}$ $1*10^{-7}$ $0,97$ $0.01$ $5497,08*10^{-6}$
$706,32*10^{-5}$ $1*10^{-7}$ $1,18$ $0.01$ $5804,84*10^{-6}$
$882,9*10^{-5}$ $10*10^{-7}$ $1,48$ $0.01$ $5592,1*10^{-6}$
$1059,48*10^{-5}$ $1*10^{-7}$ $1,75$ $0.01$ $5536,39*10^{-6}$
$1236,06*10^{-5}$ $1*10^{-7}$ $2,04$ $0.01$ $5442,31*10^{-6}$

Pour calculer l’incertitude moyenne de B, il faut additionner toutes les incertitudes et diviser par le nombre d’incertitudes. Le calcul est :

$a=\frac{6403,04*10^{-6}+5480,44*10^{-6}+5497,08*10^{-6}+5804,84*10^{-6}}{4}$
$b=\frac{5592,1*10^{-6}+5536,39*10^{-6}+5442,31*10^{-6}}{3}$

NB$_{3}$ : J’ai divisé le calcul de l’incertitude moyenne en 2 parties a et b, car l’image créée par la totalité du calcul ne rentrait pas dans le cadre.

$a= 5796,35*10^{-6}$ et $b=5523,6*10^{-6}$

Maintenant l’incertitude moyenne est :

$\frac{a + b}{2}=\frac{5796,35*10^{-6} + 5523,6*10^{-6}}{2}=5659,975*10^{-6}$

Alors nous pouvons écrire :

$B=1,187*10^{-1}\pm0,057*10^{-1} T$


Conclusion :

Après tous les calculs d’incertitude sur B que nous avons effectués, nous constatons que nous devons être dans la bonne fourchette, car un autre groupe a obtenu un résultat assez proche du nôtre. Nous avons trouvé que
$B=1,187*10^{-1}\pm0,057*10^{-1} T$ et eux ils ont trouvé que $B=1,28*10^{-1} T$. Aussi il est possible que les 2 groupes soient complètement à côté du bon résultat, mais nous ne pouvons le savoir, car nous ne connaissons pas le B qu’il fallait réellement trouver.


Commentaires  forum ferme

Logo de Bernard Vuilleumier
mercredi 14 février 2007 à 17h09 - par  Bernard Vuilleumier

Appréciation

Bon travail, soigné et minutieux.

Remarques
- Il ne faut pas relier les points de mesure à l’aide de PlotJoined->True. Mais vous pouvez faire figurer la courbe obtenue par un « fit » ou la courbe théorique si vous connaissez son expression.
- Pour la lisibilité, utilisez les règles de la notation scientifique et multipliez les nombres que vous donnez par les mêmes puissances de 10. Votre résultat par exemple devrait s’écrire :

(1.186 $\pm$ 0.057) $\times 10^{-1}$ T

ou éventuellement :

0.1186 $\pm$ 0.0057 T

Fautes d’orthographe et/ou de syntaxe à corriger
- l’entrefer du boc
- dessiner une graphique
- les incertitudes que nous avons estimé
- La seule qui ne change pas quelque soit
- Après tous les calculs d’incertitude sur B que nous avons calculé (remplacez « calculé » par « effectués »
- un résultat assez proche du notre