Le Pendule

, par  Stéphanie Lups , popularité : 1%

Description :

Cet article est destiné à un public qui désire se familiariser avec le programme Stella. Le cas que je vais étudier est le pendule simple : on prend un objet suspendu au bout d’un fil de masse négligeable. L’objet écarté de sa position d’équilibre puis lâché, il oscille de part et d’autre de la verticale. L’oscillation provient de l’action de la pesanteur c’est, par conséquent, un pendule pesant simple.

Problème :

Construire un modèle STELLA simulant le mouvement du pendule. L’accélération d’un objet qui décrit une rotation s’appelle l’accélération angulaire : \ddot \theta. Cette accélération angulaire dans le cas d’un pendule de longueur l soumis à l’accélération terrestre g est donnée par :

Etablir le graphique montrant l’amplitude de l’oscillation (angle) en fonction du temps.

Dresser un autre graphique donnant l’amplitude pour les angles variant de \frac{\pi}{10} à \frac{5\pi}{10}.

Données :

  • longueur : l = 4 m
  • accélération terrestre : g = 9.81 m/s^2
  • angle initial : \theta_0 = \frac{\pi}{10}
  • vitesse angulaire initiale : \dot \theta_0 = 0 rad/s

Attention : la force de frottement est négligeable.

Modèle :

Pour construire notre modèle, nous avons besoin d’un flux pour l’accélération angulaire qui sera relié à un réservoir que nous appellerons vitesse angulaire. Il faut, ensuite, un deuxième réservoir pour l’angle qui sera relié au flux vitesse angulaire :

Nous devons ajouter trois éléments complémentaires pour l’accélération terrestre, la longueur et l’angle initial :

Il ne nous reste qu’à rajouter les liens pour finir le modèle :

Attention, il ne faut pas oublier de mettre des biflow aux flux avec la flèche vide qui entre dans le réservoir et d’accepter les nombres négatifs pour les deux réservoirs, pour cela il faut double cliquer sur les flux et sur les réservoirs.

Nous pouvons maintenant entrer les données de l’énoncé en double cliquant sur les points d’interrogation qui s’affichent sur le modèle pour répondre aux questions.

Réponses :

  • Graphique 1 : Amplitude du pendule en fonction du temps

Je dois tout d’abord préciser certains détails pour faire le graphique : la méthode que j’utilise dans cet exercice est Runge-kutta 4 et le DT doit être 0.01 pour avoir plus de précision (ces informations ce trouvent dans Run Specs).

Le graphique qui est demandé dans l’énoncé doit représenter l’angle en fonction du temps ; l’axe des x représentera le temps et celui des y l’angle.

Attention : il ne faut pas oublier de mettre deux décimales (0.00) pour les axes pour ce faire, il faut double cliquer sur le mot angle inscrit sur le graphique.

Le pendule met environ 4 secondes pour revenir à son point de départ et l’angle varie de \frac{-\pi}{10} à \frac{\pi}{10}. Il passe son point d’équilibre toutes les deux secondes.

  • Graphique 2 : Amplitude du pendule variant de \frac{-\pi}{10} à \frac{\pi}{10}.

Pour ce deuxième graphique, il y a cinq angles différents à comparer donc il ne faut pas oublier de cocher la case comparative.

Nous pouvons observer que plus l’angle \theta (amplitude) augmente plus la période du pendule est longue, même si cette variation reste très faible.

Conclusion :

Dans cette expérience, nous avons remarqué qu’un pendule pesant simple a une période qui dépend (même si faiblement) de son amplitude c’est-à-dire de l’angle \theta entre la verticale et le bout de ficelle auquel il est rattaché.

Il existe plusieurs sites pour simuler le déplacement du pendule, j’en ai retenu deux :

Les deux images représentant des pendules proviennent du site www.alyon.org/.../physique/pendule.gif et de l’encyclopédie Wikipédia dans la rubrique pendule simple.