Machine d’Atwood

mardi 6 mars 2007
par  Aymeric Genet, Caroline Calpini
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Il est difficile d’étudier "la chute libre", car les temps de chute sont brefs pour les hauteurs sur lesquelles les frottements sont négligeables.

La machine d’Atwood permet de diminuer considérablement l’accélération de la chute d’un corps, sans pour autant altérer "la chute libre", et nous permet donc de mieux la comprendre.

Expérience

1. Chronométrez « à la main » les durées de chute pour $n$ hauteurs de chute variant par pas $\Delta h$.

Nous n’avons pas chronométré à la main les durées de chute. Nous avons utilisé le détecteur de vitesse pour obtenir les durées de chute, que l’on a calculé par rapport à la vitesse obtenue. Sur ce tableau se trouvent les résultats des temps de chute, et d’accélération pour 3 masses différentes pour une hauteur de 95cm.

mesures m1 [g] m2 [g] acc [m/s²] Temps de chute [s]
n°1 11g 10g 1.66 m/s² 2.26s
n°2 12g 10g 3.62 m/s² 1.9s
n°3 13g 10g 5.856 m/s² 1.6s

2. Représentez graphiquement l’espace parcouru en fonction du temps t.

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Graphique
Graphique de la vitesse du mobile obtenu via ordinateur, nécessaire pour le calcul de l’accélération et de la vitesse moyenne.

3. Déterminez graphiquement l’accélération du système.

Pour obtenir l’accélération, il faut utiliser la pente de la droite du graphique.

4. Comparez le résultat expérimental à la valeur calculée.

mesures m1 [g] m2 [g] acc expérimental [m/s²] acc théorique [m/s²]
n°1 11g 10g 1.66 m/s² 0.467m/s²
n°2 12g 10g 3.62 m/s² 0.892m/s²
n°3 13g 10g 5.856 m/s² 1.28m/s²

La différence entre l’accélération expérimental et l’accélération théorique est probablement due à une erreur humaine.

Questions

1. Énoncez la loi du mouvement pour un corps en chute libre.

$$\ x(t) =\frac{1}{2} at^2 + v_0t$$

2. Dessinez les forces qui agissent sur les masses de la machine d’Atwood.

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La machine d’atwood.
Les forces pesantes sont en rouges, les forces de tension sont en vertes. Le poids du fil et de la poulie ont été négligés.

3. Calculez la tension du fil pour chacune des mesures.

Pour calculer la tension du fil, il faut utiliser l’équation suivante :

$$\Sigma\vec{F}= m\vec {a}$$

$$\vec{P} -\vec{T} = m\vec {a}$$

Avec cette équation, nous pouvons obtenir la tension du fil pour la masse 1 et la masse 2 :

*Masse 1 :

$$\Sigma\vec{F}= m\vec {a}$$

$$P_1 - T_1= m_1a_1$$

$$- T_1= -P_1 + m_1a_1$$

$$T_1= m_1g - m_1a_1$$

Ce qui nous donne au final :

$$T_1= m_1(g - a_1)$$

*Masse 2 :

$$\Sigma\vec{F}= m\vec {a}$$

$$P_2 - T_2= -m_2a_2$$

$$- T_2= -P_2 - m_2a_2$$

$$T_2= m_2g + m_2a_2$$

Ce qui nous donne au final :

$$T_2= m_2(g + a_2)$$

Voici le tableau avec les différentes valeurs de la tension du fil et de la force pesante des 2 masses.

mesures m1 [g] m2 [g] T1 [N] T2 [N] P1 [N] P2 [N]
n°1 11g 10g 0.089N 0.1147N 0.1N 0.0981N
n°2 12g 10g 0.074N 0.134N 0.11N 0.0981N
n°2 13g 10g 0.051N 0.156N 0.12N 0.0981N

$$P_1 > T_1$$

et

$$P_2 < T_2$$

4. Exprimez l’accélération angulaire alpha de la poulie de rayon R lorsque :

* on néglige la masse de la poulie et celle du fil

$$\alpha=\frac{(m_1-m_2)}{(m_1+m_2)r}g$$

* on tient compte de la masse de la poulie

$$\alpha =\frac{ (m_1 - m_2)r}{I+(m_1+m_2)r^2}$$

* on tient compte de la masse de la poulie et de celle du fil.

$$\alpha=\frac{(m_1 - m_2 + (d_1 - d_2)\mu)r}{I + (m_1 + m_2 + (d_1 + d_2)\mu)r^2}$$

$\alpha$ = accélération angulaire

$m_1$ = masse 1

$m_2$ = masse 2

$r$ = rayon du cylindre

$g $= gravitation terrestre

$I$ = moment d’inercie du cylindre

$d_1$ et $d_2$ = longueurs des câbles

$\mu$ = masse linéique du câble

Conclusion

En conclusion, ce travail nous a permis, grâce à la machine d’Atwood, de mieux concevoir et visualiser le phénomène de "Chute libre".
Il nous a donné l’occasion de mieux comprendre la relation entre les forces existantes sur un objet lorsqu’il est en mouvement et la relation entre la chute d’un corps et l’accélération angulaire de la poulie.


Commentaires  forum ferme

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samedi 24 février 2007 à 15h46 - par  Aymeric Genet

Bonjour M. Vuilleumier,

Merci d’avoir corrigé notre laboratoire.
Cependant, il y a une remarque à laquelle j’ai du mal à comprendre :

"Si vous obtenez l’accélération en mesurant la vitesse en fonction du temps (c’est ce que vous avez fait), il ne faut pas reporter de vitesse dans votre tableau. Laquelle avez-vous retenue, elle change au cours du temps ?"

Que voulez-vous dire par "Laquelle avez-vous retenue, elle change au cours du temps" ? Y a-t-il d’aures accélérations ou vitesses ?

Logo de Bernard Vuilleumier
jeudi 22 février 2007 à 14h59 - par  Bernard Vuilleumier

Appréciation

Travail suffisant

Remarques
- Vous n’avez pas chronométré « à la main » les durées de chute. Vous aviez le droit d’utiliser le détecteur de vitesse et vous l’avez fait, mais il faut le dire !
- Votre graphique ne donne par l’espace parcouru en fonction de $t^2$. Changez la question !
- N’avez-vous pas mesuré les temps de chute pour une masse totale constante ?
- J’aurais bien aimé voir les trois graphiques et les valeurs obtenues pour les pentes des droites (accélérations) de chacun de vos graphiques.
- Si vous obtenez l’accélération en mesurant la vitesse en fonction du temps (c’est ce que vous avez fait), il ne faut pas reporter de vitesse dans votre tableau. Laquelle avez-vous retenue, elle change au cours du temps ?
- Vos valeurs expérimentales sont fausses ou ne correspondent pas aux masses que vous indiquez.
- Dites comment vous obtenez la valeur théorique de l’accélération.
- Les flèches que vous dessinez pour les tensions sont fausses. Elles doivent être égales si vous négligez la masse de la poulie, du fil et les frottements. Si vous en tenez compte, ce n’est pas celle de droite qui est la plus grande, mais celle de gauche !
- Lorsque vous voulez comparer la grandeur de deux forces, il ne faut pas surmonter les lettres qui les désignent d’une petite flèche, ou alors il faut indiquer que vous considérer le module du vecteur, en le plaçant entre des barres verticales : $||\vec T_1||< ||\vec F_1||$
- Dans une équation vectorielle, vous devez avoir des vecteurs dans les deux membres : $\Sigma F=m\vec a$ est une écriture fautive !
- Pour obtenir les grandeurs des tensions, vous travaillez avec les composantes des forces. Enlevez la flèche qui surmonte a dans vos équations.
- Les tensions indiquées dans votre dernier tableau sont fausses ! Comment les avez-vous obtenues ?