Moment d’inertie

Cylindres roulant sur un plan incliné
dimanche 25 mars 2007
par  Laurent Chuat, Yannick Schlaeppi
popularité : 1%

Un cylindre en aluminium plein et un cylindre en laiton évidé ont la même masse et le même rayon. Pourtant, lorsqu’ils roulent sur un plan incliné, ils ne subissent pas la même accélération. Cela est dû au fait que la matière n’est pas répartie de la même manière autour de l’axe de rotation pour les deux cylindres. La grandeur physique qui tient compte de cette répartition de la masse s’appele le moment d’inertie

But : Déterminer expérimentalement le moment d’inertie de 2 cylindres, l’un en aluminium plein et l’autre en laiton évidé.

Matériel :

  • un cylindre en aluminium plein et un en laiton évidé
  • un plan incliné et un cric pour faire varier l’angle d’inclinaison du plan
  • deux cellules photoélectriques reliées à un chronomètre
  • une balance
  • un double-mètre ruban
  • un niveau électronique

1. Introduction

Un cylindre roulant sur un plan incliné subit 3 forces : son poids $m g$, une force de frottement $F_{frott}$ et une force de soutien $N$ perpendiculaire au plan.
Si l’on projette ces forces sur un axe parallèle au plan et en posant la loi fondamentale de la dynamique $\Sigma F = m a$, on obtient :

$a = g sin(\theta) - \frac{F_{frott}}{m}$

En effet la force de soutien s’annule avec la composante verticale du poids, ne reste plus que la composante horizontale $m g sin(\theta)$.

L’accélération angulaire $\alpha = \frac{a}{r}$ du cylindre s’obtient avec la relation fondamentale de la dynamique appliquée aux corps solides en rotation :

$\Sigma M = I \alpha$ où $\Sigma M $ est la somme des moments de force qui agissent sur le cylindre et $I$ le moment d’inertie du cylindre. Le seul moment non-nul est celui de $F_{frott}$, on peut donc écrire :

$r F_{frott} = I \alpha$

En éliminant $F_{frott}$ dans les 2 équations, on peut exprimer l’accélération du cylindre comme étant :

$a = \frac{m r^2 g sin(\theta)}{m r^2 + I}$

On peut donc isoler $I$ ce qui nous donne :

$I = \frac{-a m r^2+g m r^2 sin(\theta)}{a}$

2. Mesures

Nous pesons tout d’abord nos deux cylindres et trouvons les masses suivantes :

Le cylindre en aluminium pèse 1.0613 $\pm$ 0.00005 kg.
Le cylindre en laiton pèse 1.062 $\pm$ 0.00005 kg.

Leurs dimensions sont les suivantes :

Le cylindre en aluminium est long de 0.2 $\pm$ 0.0005 m et son rayon vaut 0.025 $\pm$ 0.0005 m.
Le cylindre en laiton a une longueur de 0.2 $\pm$ 0.0005 m, son rayon extérieur vaut 0.025 $\pm$ 0.0005 m et son rayon intérieur est égal à 0.02 $\pm$ 0.0005 m.

La distance séparant nos deux cellules photoélectriques entre lesquelles nous allons faire rouler nos cylindres est de 0.995 $\pm$ 0.001 m.

L’étape suivante consiste à faire rouler les cylindres et mesurer le temps de parcours entre les deux cellules. Nous avons choisi 5 angles d’inclinaison et fait 5 lancers pour chaque angle.

Les mesures ont été les suivantes :

Angle $\beta$ = 3.4 $\pm$ 0.2 ° = 0.06 $\pm$ 0.0035 rad

Talu
T1 2.2068 2.4798
T2 2.2056 2.4665
T3 2.2420 2.4547
T4 2.2267 2.4603
T5 2.2370 2.4719
Tmoy 2.2236 2.4666

Angle $\gamma$ = 4.0 $\pm$ 0.2 ° = 0.07 $\pm$ 0.0035 rad

Talu
T1 2.0248 2.2700
T2 2.0441 2.2630
T3 2.0346 2.2638
T4 2.0466 2.2744
T5 2.0484 2.2721
Tmoy 2.0397 2.2687

Angle $\delta$ = 4.5 $\pm$ 0.2 ° = 0.079 $\pm$ 0.0035 rad

Talu
T1 1.9251 2.1379
T2 1.9342 2.1354
T3 1.9176 2.1406
T4 1.9189 2.1396
T5 1.9217 2.1408
Tmoy 1.9235 2.1389

Angle $\epsilon$ = 5.0 $\pm$ 0.2 ° = 0.087 $\pm$ 0.0035 rad

Talu
T1 1.8442 2.0376
T2 1.8355 2.0338
T3 1.8317 2.0311
T4 1.8382 2.0332
T5 1.8289 2.0305
Tmoy 1.8357 2.0332

Angle $\zeta$ = 6.0 $\pm$ 0.2 ° = 0.1 $\pm$ 0.0035 rad

Talu
T1 1.6676 1.8371
T2 1.6577 1.8359
T3 1.6575 1.8383
T4 1.6700 1.8395
T5 1.6687 1.8420
Tmoy 1.6643 1.8386

On considère que l’incertitude sur ces mesures est négligeable, car prises avec un calculateur électronique.

3. Calculs et graphiques

Calculons maintenant la masse volumique de nos deux cylindres. Pour celui en aluminium plein la formule est $\rho = \frac{m_{alu}}{\pi r^2 l_{alu}}$ ce qui nous donne $2702.6 \pm 115 kg/m^3$.

Pour le cylindre en laiton, le calcul est le même sauf qu’il faut soustraire le volume évidé ce qui nous donne

$$\rho = \frac{m_{laiton}}{\pi (r_{ext}^2 - r_{int}^2) l_{laiton}}$$

soit une masse volumique de $7512.1 kg/m^3$.

Pour calculer le moment d’inertie de nos cylindres, il nous faut connaître l’accélération de ceux-ci. Le mouvement en question est un MRUA, on peut donc calculer cette accélération par la formule $x=\frac{1}{2}at^2$ où $x$ est la distance du parcours et donc $a =\frac{2x}{t^2}$ soit :

Pour le cylindre en aluminium :

  • pour l’angle β : 0.402 $\pm$ 0.0004 $m/s^2$
  • pour l’angle γ : 0.478 $\pm$ 0.0005 $m/s^2$
  • pour l’angle δ : 0.538 $\pm$ 0.0005 $m/s^2$
  • pour l’angle ε : 0.591 $\pm$ 0.0006 $m/s^2$
  • pour l’angle ζ : 0.718 $\pm$ 0.0007 $m/s^2$

Pour le cylindre en laiton :

  • pour l’angle β : 0.327 $\pm$ 0.0003 $m/s^2$
  • pour l’angle γ : 0.387 $\pm$ 0.0004 $m/s^2$
  • pour l’angle δ : 0.435 $\pm$ 0.0004 $m/s^2$
  • pour l’angle ε : 0.481 $\pm$ 0.0005 $m/s^2$
  • pour l’angle ζ : 0.589 $\pm$ 0.0006 $m/s^2$

Le temps utilisé pour trouver ces accélérations est à chaque fois le temps moyen de roulement pour chaque angle.

Reportons maintenant l’accélération et le sinus de l’angle sur un graphique :

BMP - 429 ko
Graphique de l’accélération en fonction du sinus de l’angle
Graphique comparatif de l’accélération du cylindre en aluminium (en rouge) et du cylindre en laiton (en vert) en fonction du sinus de l’angle d’inclinaison du plan

Il apparait clairement que l’accélération augmente proportionnellement au sinus de l’angle d’inclinaison du plan.

Maintenant que nous connaissons l’accélération des cylindres, il devient possible de calculer les moments d’inertie de nos cylindres avec la formule $I = \frac{-a m r^2+g m r^2 sin(\theta)}{a}$.

Soit :

Pour le cylindre en aluminium :

  • pour l’angle $\beta$ : 0.0002 $\pm$ 0.00007 $kg/m^2$
  • pour l’angle $\gamma$ : 0.0003 $\pm$ 0.00006 $kg/m^2$
  • pour l’angle $\delta$ : 0.0003 $\pm$ 0.00005 $kg/m^2$
  • pour l’angle $\epsilon$ : 0.0003 $\pm$ 0.00005 $kg/m^2$
  • pour l’angle $\zeta$ : 0.0003 $\pm$ 0.00004$kg/m^2$

Pour le cylindre en laiton :

  • pour l’angle $\beta$ : 0.0004 $\pm$ 0.00009 $kg/m^2$
  • pour l’angle $\gamma$ : 0.0004 $\pm$ 0.00008 $kg/m^2$
  • pour l’angle $\delta$ : 0.0004 $\pm$ 0.00007 $kg/m^2$
  • pour l’angle $\epsilon$ : 0.0004 $\pm$ 0.00007 $kg/m^2$
  • pour l’angle $\zeta$ : 0.0004 $\pm$ 0.00006 $kg/m^2$

La première observation que l’on peut faire au vu de ces résultats est que le moment d’inertie ne dépend pas de l’accélération et de l’angle d’inclinaison du plan mais semble plutôt être une propriété intrinsèque au cylindre.

La table CRM donne comme formules pour le moment d’inertie :

  • $I = \frac{1}{2}m r^2$ pour un cylindre plein
  • $I = m r_{moyen}^2$ pour un anneau (cylindre évidé)

Soit théoriquement 0.0003 $kg/m^2$ pour notre cylindre en aluminium et 0.0005 $kg/m^2$ pour le cylindre en laiton. Ces valeurs sont quasi identiques aux résultats que nous avons trouvé expérimentalement, démontrant la validité de nos formules.

4. Conclusion

Il apparaît ainsi clairement que le moment d’inertie reste constant pour tout solide rigide en mouvement, il varie cependant selon la forme du mobile car la masse n’est pas répartie de la même façon. La manière la plus simple de calculer cette grandeur est d’utiliser les formules présentes dans les différentes tables numériques. Il est néanmoins possible de déterminer le moment d’inertie expérimentalement au moyen de la démarche qui fait l’objet de ce rapport.


Commentaires  forum ferme