Oscillations

Différentes méthodes pour calculer la raideur d’un ressort.
mercredi 21 mars 2007
par  Lionel Balmer
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Le but de ce laboratoire est de démontrer que la raideur d’un ressort peut être calculée de deux manières différentes. La manière statique se fait par la mesure des élongations du ressort en fonction de différentes masses. La manière dynamique est la mesure de la période d’oscillation de notre ressort pour une certaine masse.

Plan

1. Introduction

2. Consignes

3. Mesures

4. Questions

5. Réponses

6. Conclusion

1. Introduction

Dans ce laboratoire, nous disposons de trois ressorts différents. Nous devons trouver leur raideur respective. Pour celà, nous allons utiliser une méthode dite "statique" et une dite "dynamique".

2. Consignes

C1. Accrochez successivement différentes masses aux ressorts et mesurez, pour chaque masse, l’élongation. Voir mesures
C2. Déterminez la constante k de chaque ressort à partir de ces mesures. Voir calculs
C3. Suspendez une masse m successivement à deux ressorts et mesurez les périodes d’oscillation. Voir mesures
C4. Calculez à partir de vos mesures les constantes k et comparez avec les valeurs précédentes. S’il y a une différence, d’où peut-elle venir ? Voir calculs
C5. Calculez la masse qui permet de doubler cette période T et vérifiez votre pronostic par l’expérience. Voir calculs

3. Mesures


C1. Mesures des amplitudes

MasseAmplitude pour ressort n°1Amplitude pour ressort n°2Amplitude pour ressort n°3
0.01kg 0 0 0
0.02kg -0.028 -0.006 -0.029
0.03kg -0.055 -0.011 -0.062
0.04kg -0.082 -0.017 -0.095
0.05kg -0.108 -0.024 -0.129
0.1kg -0.239 -0.054 -0.296
0.15kg -0.371 - 0.085 -0.462
0.2kg -0.446 -0.116 -0.543


C2. Détermination de la constante k pour les ressorts

A partir de la formule : $ F=-k\Delta y $

Nous calculons les moyennes suivantes :

k pour ressort n°1k pour ressort n°2k pour ressort n°3
4.897 22.195 4.223


C3. Périodes d’oscillation

MassePériode du ressort n°1 [1]Période ressort n°3
0.02kg 0.55 0.55
0.08kg 0.95 1.05


C4. Constante k en fonction de la période

A partir de la formule : $ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k} }$

Nous trouvons les valeurs de k suivantes :

Massek pour ressort n°1k pour ressort n°3
0.02kg 2.61 2.61
0.08kg 3.5 2.86

La dissemblance de valeur en la constante k est induite par moultes imprécisions, telles les mesures de période ainsi que de distance.


C5. Masse permettant de doubler la période T en vérifiant notre pronostic expérimental

Concrètement celà revient, en sachant que $ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, à poser :

$ 2T = 2\pi\sqrt{\frac{m’}{k}}$

m’ est la masse recherchée, nous continuons à développer :

$ 4 T^2 = 2\pi^2[\left(\frac{m’}{k}\right)]$

Nous isolons x :

$ m’ = \frac{4 T^2}{4 \pi^2} $

Suite à quoi nous reprenons $ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ où avec quoi nous substituons T puis simplifions peu à peu :

$ m’ = \frac{\displaystyle 4k{[ \left(2 \pi \sqrt\frac{m}{k}}\right) ]^2}{\displaystyle 4 \pi^2} = \frac{\displaystyle 4k\pi^2[ \left (\frac{m}{k}\right) ]}{\displaystyle \pi^2} $

Finalment nous obtenons :

$ m’ = 4 m $

Pour doubler la période T, il faut quadrupler la masse.

4. Questions

Q1. Vérifiez que l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique admet comme solution la fonction $x(t)=Asin(\omega t+\phi)$. Voir vérification
Q2. Donnez une interprétation physique des grandeurs A , ω et φ. Voir intérprétation
Q3. Établissez, à partir des équations du mouvement de l’oscillateur harmonique et du pendule, l’expression donnant la période T d’oscillation. Voir période

5. Réponses aux Questions


Q1. Vérification de l’équation

L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique est vérifiée.

Prenant la formule, où pour des raisons de calcul nous substituerons $\Delta y$ par $\ x (t)$ :

$ F=-k\Delta y \Rightarrow F=-k\ x (t) $

La comparant à la relation fondamentale de la dynamique :

$ F=m a$

et donc

$ F=m\ddot x (t)$

Nous pouvons alors poser :

$ F=-k\ x (t)=m\ddot x (t) $

Isolons à présent $\ x (t)$ :

$ \ x (t)= \frac{m\ddot x (t)}{-k} $

Sachant que :

$ \ddot x (t) = -\omega^2 Asin(\omega t +\phi) $

Nous pouvons "insérer" cette valeur de $\ddot x (t) $ dans notre équation :

$ \ x (t)= \frac{m\ddot x (t)}{-k} $

devient donc,

$ \ x (t)= \frac{ -m\omega^2 Asin(\omega t +\phi)}{-k}= \frac{ m\omega^2 Asin(\omega t +\phi)}{k} $

En postulant que :

$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \Rightarrow \omega^2 = \frac{k}{m} \Rightarrow k = m \omega^2 $

Nous pouvons substituer dès lors notre constante k :

$ \ x (t)= \frac{ m\omega^2 Asin(\omega t +\phi)}{m \omega^2} $

Puis éliminer $ m \omega^2 $ présent dès lors au numérateur et dénominateur, ce qui nous donne :

$x(t) = Asin(\omega t+\phi)$

C.Q.F.D.


Q2. Interprétation

- A correspond à l’amplitude.

- ω est la lettre grecque symbolisant la vitesse angulaire.

- Enfin φ est l’angle d’où part le tour de cercle par rapport au standard : φ=0 correspondant au point (cos(1) ;sin(0)) dans un cercle trigonométrique de rayon 1.

Illustration des grandeurs physiques. Nous y voyons notamment deux exemples possibles de valeur pour φ


Q3. Expression de la période T

Reprenant les équations $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ et $ k = m \omega^2 $ de la question 1, nous pouvons (re)poser :

$ m\omega^2 Asin(\omega t +\phi) = k Asin(\omega t +\phi) $

On annule $ Asin(\omega t +\phi) $ :

$ m\omega^2 = k \Rightarrow \omega^2 = \frac{k}{m} \Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} $

Nous savons que :

$ 2\pi = \omega T \Rightarrow T =2\pi \frac{1}{\omega} $

Substituons à présent $ \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} $ qui ici s’inverse pour répondre à la question :

$ T =2\pi\sqrt\frac{m}{k} $

C.Q.F.D.

6. Conclusion

La mesure d’oscillations à travers cette ludique expérience, nous permet de mieux apréhender la théorie et plus particulièrement ses formules. On peut dire que ce labo nous a permis de comprendre vraiment à quoi elles sont dues.


[1Nous n’avons malheureusement pas pu calculer la période du ressort n°2 à cause de sa trop grande raideur, nous empêchant de le faire osciller de manière régulière. Retour à la suite


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