Parachutisme

Problème
jeudi 30 novembre 2006
par  Thierry Fuglister
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Un parachutiste saute d’une hauteur de 1000m. A quel moment doit-il actionner son parachute pour qu’il atterrisse à moins de 10 m/s, sans quoi la chute lui serait fatale, le but étant que le parachutiste prenne le plus de temps plaisir en chute libre et qu’il ait besoin d’actionner son parachute le plus tard possible.

Modèle Stella :

Pour résoudre ce problème nous allons utiliser Stella, avec le modèle ci-dessous :

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Schema du model stella

La vitesse, ici à une seule dimension (axe y), est définis par le flux accélération, lui-même définis par la force de frottement (Ffrott) et la force du poids du parachutiste (Poids).

L’accélération=$\frac{Frott-Poids}{m}$

Pois=$g*m$

Ffrott=$1/2*rho*Cx*S*v^2$

Cette force va particulièrement nous intéresser, car c’est elle qui va freiner la chute du parachutiste.

Au moment où il actionne son parachute, il augmente la surface de frottement avec l’air, cette augmentation brusque peut être représentée dans Stella par la fonction "STEP", cette fonction agit sur une donnée (ici le rayon) en un temps voulu (temps à déterminer).

Pour plus de réalisme nous ne considérons pas l’ouverture du parachute instantané (comme agit la fonction STEP), alors nous allons lisser cette fonction avec une autre appelée SMTH3, avec laquelle nous allongeons la durée de l’ouverture à 3 secondes

Données introduites dans le modèle Stella :

Données du modely, représente la position du parachutiste selon l’axe y

STEP(augmentation du rayon, temps d’action)

SMTH3(donnée marche, temps d’ouverture)

Situation sans parachute :

Dans ce cas, nous n’utiliserons pas les fonctions STEP et SMTH3, car il n’y a pas d’ouverture de parachute, donc pas de changement de surface de frottement.

Le parachutiste va tomber en chute libre jusqu’à toucher le sol à une très grande vitesse, supérieure à 10 m/s, il ne survivrait pas à sa chute

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Chute sans parachute

Situation avec parachute :

C’est avec ce cas que nous allons utiliser les fonctions, car il nous faudra changer la force de frottement brusquement. Il nous suffit alors de changer la donnée "temps d’ouverture", qui correspond au temps écoulé depuis le saut jusqu’au déclenchement du parachute (temps de chute libre).

Puis nous essayons, par tâtonnements, de trouver le temps idéal pour que le parachutiste actionne son parachute au dernier moment pour autant que sa vitesse au contact du sol ne dépasse pas les 10 m/s.

Après quelques tentatives, le temps d’ouverture adéquat est de 35.5 secondes, et on obtient ce graphique :

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Chute avec parachute

On remarque que le parachutiste atteint le sol après 42.75s à une vitesse de 9.97 m/s, sa vie n’est pas en danger.

Avec ce problème nous avons appris à utiliser des fonctions de Stella, telles que STEP et SMTH3, dans des situations concrète.


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