Parachutiste

vendredi 8 décembre 2006
par  Jérémie Jaccard
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Un parachutiste de 80 kg, saute d’un avion à une hauteur de 1000 mètres, quand doit-il ouvrir son parachute afin d’arriver au sol le plus rapidement possible sans se tuer (la vitesse ne doit pas être supérieure à 10 metres par secondes) ? Pour nous aider nous aurons recours à STELLA.

Le parachutiste saute sans parachute :

Un parachutiste saute d’un avion et par mégarde oublie son parachute dans l’avion. Heureusement pour nous, cette erreur va nous permettre d’observer plus simplement ce qui se passe que s’il avait un parachute.

Les forces qui entrent en jeu lors de cette situation, sont le poids et la force de frottement.

Le poid étant défini par :
$P = m*g$

La force de frottement étant définie par :
$Ffrott=\frac{1}{ 2}*\rho*S*Cx*V^2$

L’accélération étant définie par :
$F = m*a$ <=> $a=\frac{F}{ m}$ et $F=Ffrott-P$

avec pour valeurs :

m 80 kg
g 9.81 N
${{\rho}}$ 1.293$\frac{kg}{m^3}$
Cx 1
V 0 m/s
X 1000 m
Flux V V

Maintenant, il ne manque plus qu’à construire le modèle STELLA suivant et à entrer les valeurs (l’accélération étant définie par la somme de deux forces entrant en compte) :

Si l’on fait un graphique de la vitesse et de la position en fonction du temps, on peut remarquer que le parachutiste percute le sol après $23.95 s$ à une vitesse de $-49.24 \frac{m}{s}$  :

Conclusion : le parachutiste percute le sol à une vitesse très élevée et donc, selon toute vraisemblance se tue.


Le parachutiste saute avec son parachute :

Un autre parachutiste, plus attentif cette fois saute du même avion avec un parachute, mais un parachute n’est pas utile si on le déclenche trop tard. Donc, pour qu’il puisse profiter le plus possible de son saut, nous devons trouver le temps maximal que ce parachutiste pourrait rester en chute libre sans ouvrir son parachute et sans se tuer (la vitesse ne doit pas être supérieur à 10 mètres par secondes)

Pour simuler l’ouverture du parachute le plus fidèlement possible, il faut prendre plusieurs choses en compte :

  1. La section apparente du parachute (que nous exprimerons grâce au rayon)
  2. Le temps d’ouverture du parachute (a quel moment doit-il ouvrir son parachute)
  3. La durée d’ouverture (la durée que met le parachute à s’ouvrir)

Donc, armé de ces information on effectue le modèle STELLA suivant :

Et l’on entre les données suivantes :

Explication :

Afin de simuler l’ouverture du parachute le mieux possible, nous avons dû avoir recours aux fonctions SMTH et STEP [1].

  • marche=STEP(1.25,temps_d’ouverture). Cela veut dire que l’on veut augmenter le rayon du parachute de 1.25 mètres après 36 secondes (temps_d’ouverture)
  • Ensuite, marche_lissee=SMTH3(marche,duree_d’ouverture). Nous voulons tenir deux choses en compte, le temps d’ouverture (exprimé au travers de marche ), et la durée d’ouverture. Nous utilisons donc la fonction SMTH, qui nous permet du même coup de faire entrer ces deux éléments en compte et d’éviter les problèmes numériques que poserait STELLA.
  • Pour finir, r= 0.75 (rayon du parachutiste) +marche_lissee (ouverture du parachute).

Après ces explications, il ne manque plus qu’à faire un graphique de la vitesse et de la position en fonction du temps, et de tâtonner afin de trouver le temps le plus élevé (autrement dit le temps d’ouverture le plus grand), sans que la vitesse ne dépasse les 10 mètres par secondes en touchant le sol.

Après quelques tâtonnements, on se rend compte que la valeur la plus appropriée pour le temps d’ouverture est d’environ 36 secondes, ce qui nous donne 42 secondes à l’arrivée.

Conclusion : Le parachutiste, après le plus long saut possible, arrive bien vivant, à une vitesse raisonnable au sol.


Nous tenons à préciser qu’aucun parachutiste n’a été blessé durant l’expérience.



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