Parachutiste

Chute avec force de frottement due à l’air
jeudi 30 novembre 2006
par  Jean-Pierre Trang
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Avec l’aide de Stella, il est possible de résoudre des problèmes comme celui du parachutiste, et d’obtenir des réponses numériques précises.
La question posée étant de trouver le moment optimal pour ouvrir son parachute et atterrir à une vitesse de 10 mètres par seconde, depuis une altitude de 1000 mètres, sachant qu’il faut parvenir au sol le plus rapidement possible.

Mise en situation

Un parachutiste de 80 kg monte dans un avion pour sauter en parachute à une hauteur de 1000 mètres au dessus du sol. Quel est le moment idéal pour ouvrir son parachute s’il veut arriver au plus vite au sol, à une vitesse égale ou inférieure à 10 mètres par seconde (sachant qu’à une vitesse supérieure à 10 m/s, il risque d’être blessé) ?

Deux forces interviennent dans cette situation : la force de pesanteur et la force de frottement. Cette dernière variera grandement entre le moment de la chute libre et celui où le parachute sera ouvert, alors que la force de pesanteur agit avec une force constante sur le parachutiste durant toute la durée de la chute. Ici, les deux forces sont opposées, la force de pesanteur allant vers le bas alors que la force de frottement va vers le haut.

Valeurs à prendre en compte

Ces deux forces sont par définition :

- Force de pesanteur :

  • Poids = m*g

- Force de frottement :

  • Ffrott = 1/2*$\rho$*S*Cx*v²
    • S étant la section apparente du parachute, qui est définie par la formule d’aire d’un disque, le parachute étant lui-même un disque : S = $\pi$*r²

Enfin, il nous faut les données initiales :

m 80 kg
g 9.8 m/s²
ρ 1.293 kg/m³
rinitial 0.75 m
Cx 1
vinitial 0 m/s
xinitial 1000 m
durée d’ouverture du parachute 3 s

Elaboration du modèle Stella :

Tout d’abord, construisons le modèle Stella du parachutiste en chute libre.

Ici, la valeur de S est plutôt petite, car le parachute n’est pas encore ouvert. Cela implique donc une force de frottement faible (rappelons nous que la force de frottement dépend notamment de la surface, qui est la section apparente du parachute). Par ailleurs, notons que a et flux v sont tous deux en biflow.

- Pour simuler l’ouverture du parachute, on doit prendre en compte trois choses :

  • le temps de l’ouverture (après combien de temps doit-il ouvrir son parachute)
  • la durée de l’ouverture (combien de temps met le parachute pour s’ouvrir)
  • le rayon du parachute (afin de déterminer la section apparente du parachute)

Mais ce n’est pas tout, l’ouverture du parachute implique aussi une fonction marche, qui doit être lissée car le parachutiste ralentit progressivement, grâce à la fonction SMTH. La fonction STEP étant utilisée pour les variations brusques. Dans cette situation, c’est r qui varie brusquement.
(voir : Fonctions STEP et SMTH).

Nous avons donc notre modèle complet, la force de frottement est maintenant plus grande, S ayant grandement augmenté.
L’objet grandeur de la vitesse est ajouté afin de voir... la grandeur de la vitesse (évidemment).

Le problème étant de trouver le temps optimal pour ouvrir son parachute, il faut donc entrer des valeurs au hasard dans temps ouverture et chercher par tâtonnement. Après quelques tests, il s’avère que le meilleur moment pour ouvrir son parachute soit après 36 secondes (approximé à une seconde près).

Voici donc les valeurs à entrer pour chaque objet du modèle :


L’accélération étant trouvée en transformant la définition de la force :
- F = m*a <=> a = F/m


En outre, nous avons décoché la case Non-negative de l’objet x et v.

Maintenant, faisons le graphique de la position et de la grandeur de la vitesse en fonction du temps, avec comme échelle :

  • 0-50 [s] pour le temps
  • 0-30 [m/s] pour la grandeur de la vitesse
  • 0-1000 [m] pour la position

Dans Run -> Run Specs..., nous devrions avoir ceci :

Lançons maintenant le graphique :

Nous voyons quatre phases dans ce graphique, pour la grandeur de la vitesse.

  1. Première phase où la vitesse augmente : le parachutiste est en chute libre et accélère car il y a la force de pesanteur.
  2. Deuxième phase où la vitesse reste constante : le parachutiste est en chute libre et n’accélère plus car il est à sa vitesse maximale.
  3. Troisième phase où la vitesse diminue : le parachutiste ouvre son parachute et n’est plus en chute libre, il décélère car la force de frottement a augmenté.
  4. Quatrième phase où la vitesse reste constante : le parachutiste n’est plus en chute libre et ne décélère plus car il a atteint sa vitesse minimale.

N.B. : La vitesse dépend aussi de la masse du parachutiste. S’il était plus lourd, sa vitesse serait alors plus grande. Au contraire, s’il était plus léger, alors sa vitesse serait plus petite. En effet, la force de pesanteur devient plus grande si l’objet devient plus lourd (F = m*g), alors que la force de frottement ne dépend que de la surface de l’objet et ne sera pas influencée par ce changement de masse. La résultante des forces, qui va ici vers le bas, sera donc plus grande (ou plus petite).

En plaçant le curseur au bon endroit, on trouve les valeurs pour le temps, la grandeur de la vitesse et la position.

Conclusion

Par tâtonnement, nous avons trouvé que le temps optimal pour ouvrir le parachute est après 36 secondes de chute libre depuis notre position de départ, donc 1000 mètres. En entrant cette valeur et en faisant le graphique de la position et de la grandeur de la vitesse en fonction du temps, on voit que le parachutiste touche le sol (donc x = 0) à une vitesse de 10 mètres par secondes après 42 secondes.


-  N.B. : La valeur de temps ouverture est arrondie à la seconde près, c’est donc une approximation. Pour être plus précis, il faudrait faire des tests plus poussés et utiliser un tableau de valeurs dans Stella. On en déduit donc que le temps que le parachutiste a mis pour arriver au sol n’est pas de la plus haute précision. Cependant, il ne faut pas oublier qu’il n’y a qu’une seule seconde d’incertitude pour temps ouverture .


Stella n’est qu’un logiciel de simulation. Les résultats obtenus peuvent changer selon la méthode d’intégration utilisée, mais aussi selon le pas. Certaines fois, il faudra faire attention à cela car les résultats obtenus peuvent être inattendus et faux.


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