Période du pendule

, par  Mathieu Joye, Nicolas Vetterli , popularité : 1%

Résulats, graphiques, réponses aux questions et analyses des résultats concernant le laboratoire sur le pendule, réalisé le 22.03.2007

En se balançant, un pendule garde un rythme très régulier. Il y a au moins trois facteurs modifiables sur un pendule qui seraient susceptibles d’affecter sa période : l’amplitude, la longueur et la masse. Pour étudier le pendule, nous allons procéder, à l’aide du montage ci-dessous, à une expérience contrôlée ; c’est-à-dire faire des mesures en ne changeant qu’une variable à la fois.

Objectifs

- Mesurer la période d’un pendule en fonction de l’amplitude
- Mesurer la période d’un pendule en fonction de la longueur
- Mesurer la période d’un pendule en fonction de la masse

Questions préalables

1. Faites un pendule en attachant une masse de 100 g à une ficelle de 1 m. Tenez la ficelle et laissez le pendule se balancer. Uniquement par observation visuelle, dites si la période dépend de la longueur du pendule ? De l’amplitude du balancement ?

Oui, la période de balancement du pendule semble dépendre de la longueur de celui-ci ainsi que de son amplitude de mouvement.

2. Essayez avec une masse différente. La période semble-t-elle dépendre de la masse ?

Non, la période de balancement ne paraît pas, par observation visuelle, dépendre de la masse.

Tableaux des données

Partie I Amplitude

Angle [en °] Période [s] Incertitude [s]
10 1.6593 ± 0.001
20 1.7274 ± 0.001
30 1.7514 ± 0.001
40 1.7788 ± 0.001
50 1.8085 ± 0.001

Mesures pour une masse de 200 g et une longueur de 65 cm.

Partie II Longueur

Longueur [cm] Période [s] Incertitude [s]
38 1.3027 ± 0.001
44.5 1.3706 ± 0.001
50 1.4510 ± 0.001
55 1.5167 ± 0.001
60 1.5842 ± 0.001

Mesures pour une masse de 200 g et une amplitude de 20°.

Partie III Masse

Masse [g] Période [s] Incertitude [s]
100 1.6055 ± 0.001
200 1.5842 ± 0.001
300 1.5699 ± 0.001

Tableau pour une longueur de 60 cm et une amplitude de 20°.

Analyse

1. Pourquoi Logger Pro est-il réglé pour mesurer la durée séparant deux blocages du faisceau du portail ? Pourquoi pas la durée entre chaque blocage ?

Si on mesurait le temps entre chaque blocage, on obtiendrait le temps d’une demi-période alors que nous cherchons le temps d’une période complète. Logger Pro est réglé pour mesurer la durée séparant deux blocages afin d’obtenir la période.

2. Faites un graphique de la période en fonction de l’amplitude en degrés. La période dépend-elle de l’amplitude ? Expliquez.

Graphique de la période en fonction de l’amplitude
Axe des X : Amplitude en degrés
Axe des Y : Période en seconde

On peut observer que le graphique de la période en fonction de l’amplitude admet une légère pente. On peut donc dire que l’amplitude de balancement influence légèrement sur la période du pendule. Celle-ci n’apparaît pourtant pas dans la formule de calcul de la période. Toutefois cette formule est valable uniquement pour de faibles amplitudes ; ce qui nous laisse supposer que pour des amplitudes plus grandes, le calcul de la prériode la fait intervenir.

3. Faites un graphique de la période en fonction de la longueur. La période dépend-elle de la longueur ?

Graphique de la période en fonction de la longueur
Axe x : la longueur
Axe y : la période

Sur le graphique de la période en fonction de la longueur, nos résultats montrent nettement l’influence de la longueur du pendule sur sa période. La période dépend de la longueur du pendule ; la longueur intervient dans le calcul de la période :

T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

4. Faites un graphique de la période en fonction de la masse. La période dépend-elle de la masse ? Avez-vous assez de données pour en être sûr ?

Graphique de la période en fonction de la masse
Axe des X : Masse
Axe des Y : Période en seconde

Le graphique ne nous aide pas davantage à déterminer si oui ou non la période dépend de la masse ; il nous manque des données pour trancher. A l’aide de ce graphique, on pourrait prétendre que la période est indépendante de la masse.

5. Pour examiner plus en détail comment la période T dépend de la longueur l, créez les deux graphiques suivants à partir de vos données : T^{2} en fonction de l, et T en fonction de l^2. Des deux graphiques, lequel est-il le plus proche d’une proportionnalité directe ; c’est-à-dire, lequel ressemble-t-il le plus à une droite passant par l’origine ?

Graphique de la période en fonction de la longueur au carré
Axe X : Longueur au carré
Axe Y : Période
Graphique de la période au carré en fonction de la longueur
Axe X : Longueur
Axe Y : Période au carré

Le graphique de la période au carré en fonction de la longueur ressemble bien plus à une droite. Comme montré sur le second graphique grâce à la fonction PlotJoined de mathematica.

6. À partir des lois de Newton, on peut montrer que pour certains pendules, la période T est liée à la longueur l et à l’accélération de la pesanteur g par :

T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} ou T^2=\frac{4\pi^2}{g}l

Un de vos graphique est-il conforme à cette relation ? Expliquez (indication : Peut-on considérer le facteur entre parenthèses comme une constante de proportionnalité ?).

Oui, la graphique de la période au carré en fonction de la longueur est conforme a cette relation :

y=C^{te}x

y=T^2

 C^{te}=\frac{4\pi^2}{g}

 x=longueur

En conclusion, ce travail nous à montré que la période d’un pendule dépendait d’un seul facteur, qui entre en compte dans le calcul de la période : la longueur. L’amplitude nous a fait constater qu’elle influençait la période, mais de manière peu visible. Quant à la masse, nous avons conclu qu’elle n’influençait pas la période, sachant que nous n’avons pas assez de résultats pour en avoir la certitude.