Période du pendule

Longueur, amplitude et période du pendule
mercredi 21 mars 2007
par  Florian Matthey, Jean-Pierre Trang
popularité : 1%

Un pendule a la particularité de se balancer à un rythme très régulier. Nous allons étudier la variation de sa période en fonction des trois paramètres modifiables : l’amplitude, la longueur et la masse ; le but étant d’observer comment chaque facteur affecte la période d’un pendule.

Matériel :

- Portail lumineux Vernier
- Rapporteur
- Ficelle
- Tiges, noix de fixation
- Masses de 100 g, 200 g et 300 g
- Règle graduée
- Mathematica

Mise en situation :

Une masse est accrochée à une ficelle, de longueur modifiable. Grâce à un portail lumineux bien placé, il est possible de mesurer la période de ce pendule. Nous allons mesurer cette période en changeant plusieurs fois la masse, la longueur et l’amplitude. Ceci fait, nous pourrons ainsi voir quels facteurs modifient cette période.

Objectifs :

  • Mesurer la période d’un pendule en fonction de l’amplitude.
  • Mesurer la période d’un pendule en fonction de la longueur.
  • Mesurer la période d’un pendule en fonction de la masse.

Questions préalables :

1. Faites un pendule en attachant une masse de 100 g à une ficelle de 1 mètre. Tenez la ficelle et laissez le pendule se balancer. Uniquement par observation visuelle, dites si la période dépend de la longueur du pendule ? De l’amplitude du balancement ?

La période du pendule dépend apparemment de la longueur et de l’amplitude.

2. Essayez avec une masse différente. La période semble-t-elle dépendre de la masse ?

Non, de vue, la période ne dépend pas de la masse.

Mesures :

Partie 1 : Amplitude

Pour mesurer la période en fonction de l’amplitude, nous avons gardé la même masse et la même longueur en changeant seulement les angles.
Ces mesures ont été effectuées avec cinq angles $\theta$ différents.

Tableau de données

Amplitude (°) Période 1 (s) Période 2 (s) Période 3 (s) Période 4 (s) Période moyenne (s)
20 1.363 1.364 1.363 1.362 1.363
30 1.387 1.387 1.385 1.387 1.386
50 1.440 1.440 1.440 1.438 1.439
70 1.512 1.516 1.513 1.517 1.514
90 1.614 1.625 1.625 1.621 1.621

On remarque que, lorsque $\theta$ augmente, la période augmente aussi légèrement et progressivement. On en conclut donc que la période d’un pendule est liée à l’amplitude que l’on donne à celui-ci.
À noter que nous avons arrondi les valeurs pour la période au centième près, ce sera aussi le cas dans les tableaux qui suivront.

L’incertitude est de $\pm$ 1 degré pour l’amplitude et de $\pm$ 0.001 seconde pour la période.

Partie 2 : Longueur

Dans ce cas là nous avons utilisé une masse de 200 g et une amplitude de 20° pour chaque mesure effectuée. Nous avons donc effectué plusieurs mesures en changeant six fois la longueur.

Tableau de mesures

Longueur (cm) Période 1 (s) Période 2 (s) Période 3 (s) Période 4 (s) Période moyenne (s)
45 1.380 1.378 1.374 1.377 1.377
50 1.437 1.435 1.433 1.435 1.436
55 1.506 1.507 1.504 1.504 1.505
60 1.575 1.572 1.579 1.573 1.575
65 1.649 1.650 1.650 1.651 1.650
70 1.700 1.700 1.691 1.699 1.697

Dans ce tableau nous remarquons que lorsque la longueur augmente, la période augmente également, comme pour le cas précédent. On en conclut que la période du pendule dépend aussi de sa longueur.

L’incertitude est de $\pm$0.1 centimètre pour la longueur et de $\pm$0.001 seconde pour la période.

Partie 3 : Masse

Cette fois, c’est la masse que nous modifions. Nous avons gardé une amplitude de 20° et une longueur de 45 centimètres pour chaque mesure. Ces mesures ont été faites avec 3 masses différentes.

Tableau de mesures

Masse (g) Période 1 (s) Période 2 (s) Période 3 (s) Période 4 (s) Période moyenne (s)
100 1.395 1.394 1.392 1.392 1.393
200 1.380 1.378 1.374 1.377 1.377
300 1.354 1.356 1.352 1.354 1.354

Nous pouvons voir une différence minime pour chaque masse. La masse étant doublée et même triplée au cours de ces mesures, nous pouvons dire que ces différences sont négligeables. Donc, la masse ne fait pas varier la période d’un pendule.

L’incertitude est de $\pm$0.1 gramme pour la masse et de $\pm$0.001 seconde pour la période. De plus, avec l’incertitude de l’amplitude que l’on donne au pendule au départ ($\pm$1 degré) et l’incertitude sur la longueur de notre pendule ($\pm$0.1 centimètre),
ceci expliquerai pourquoi nous ne trouvons pas la même valeur pour les trois masses différentes.

Analyse :

Pour y voir plus clairement, faisons les graphiques des données obtenues.

Graphique de la période en fonction de l’amplitude en degrés :

Ce graphique montre que la période grandit quand l’amplitude fait de même. Pour voir de quelle manière l’amplitude agit sur la période, nous pouvons faire un zoom :

Nous pouvons voir que plus l’amplitude que nous faisons varier est grande, plus la période variera rapidement. Attention cependant : un zoom peut souvent induire en erreur quand il s’agit de voir si la période du pendule dépend de tel facteur, c’est pour cela que nous devons d’abord faire le graphique avec les axes partant de l’origine (0, 0). Ici, la période dépend de l’amplitude.

Graphique de la période en fonction de la longueur en cm :

Nous pouvons voir que la période dépend également de la longueur du pendule.

Examinons plus en détail comment la période dépend de la longueur, faisons 2 graphiques supplémentaires :

Période en fonction de longueur au carré :

Période au carré en fonction de longueur :

Des trois graphiques, c’est le troisième, celui de la période au carré en fonction de la longueur, qui est le plus proche d’une proportionnalité directe : la fonction est très similaire à une droite passant par l’origine.

Graphique de la période en fonction de la masse :

Malgré une petite pente, nous pouvons affirmer que la période ne dépend pas de la masse. Surtout car cette pente est minuscule : pour une masse allant du simple au triple, la différence de valeur entre les périodes obtenues sont négligeables.

Regardons maintenant la théorie, et plus précisément la loi de Newton :

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \rightarrow T^2 = \frac{4\pi^2}{g}*l$

Cette loi nous dit que la période est liée à la longueur et à l’accélération de la pesanteur pour certains pendules.

On voit clairement que le graphique de la période au carré en fonction de la longueur est conforme à cette relation. Observons de plus près cette loi :

$T^2 = \frac{4\pi^2}{g}*l$

  • $\frac{4\pi^2}{g}$ est une constante. En effet, $\pi$ et g ne changent pas durant l’expérience !

Il ne reste donc plus que l, qui multiplie une constante de proportionnalité. Le graphique de la période au carré en fonction de la longueur correspond donc bien à cette relation.

Extensions :

Déterminons une valeur pour g à partir du graphique de T² en fonction de l.

Tout d’abord, isolons g :

$T^2 = \frac{4\pi^2}{g}*l \rightarrow g = 4\pi^2*\frac{l}{T^2}$

Il y a quelque chose qui ressort : $\frac{l}{T^2}$

Si nous retournons en arrière et regardons encore une fois le graphique, tout devient plus clair :

Il y a une corrélation évidente avec la pente de la droite. En réfléchissant un peu, on voit que la fraction d’au-dessus est l’inverse de la pente.

Calculons donc g grâce à Mathematica, qui va notamment nous donner la pente de la droite. Mathematica nous donne cette équation pour la droite : 0.0406584x + 0.0465086, la pente est donc de $\frac{406584}{10^{7}}x$. Sachant que la fraction d’au-dessus est l’inverse de la pente, voici donc le résultat que nous obtenons :

$g = 4\pi^2*\frac{10^{7}}{406584} = 970.978 cm/s^2 = 9.70978 m/s^2$

Conclusion :

Ce travail pratique nous a permi d’observer les différents facteurs qui peuvent modifier la période d’un pendule. Grâce à des mesures précises, il a été possible d’y faire des études poussées et de comparer la pratique avec la théorie. En conclusion, entre l’amplitude, la longueur et la masse, seule cette dernière n’affecte pas la période de la pendule : l’amplitude affecte la période et la longueur également.


Commentaires  forum ferme