Saut d’un parachutiste en parachute

mardi 5 décembre 2006
par  Aymeric Genet
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Ceci est une explication d’un modèle créé sous STELLA® ainsi qu’une analyse de ce modèle de chute d’un parachutiste avec ouverture de son parachute durant celle-ci. Le but est d’obtenir le temps limite où le parachutiste peut déclencher cette ouverture afin d’arriver au sol en un seul morceau.

1. Introduction

Un parachutiste de masse m chutant d’un sommet de 1000 mètres est soumis à sa propre force de pesanteur P = m*g (g étant l’attraction terrestre), et à une force de frottement de l’air F = 1/2*rho*Cx*S*v².
rho étant la masse volumique de l’air, soit une constante, Cx le coefficient de pénétration dans l’air, S la section apparente de la chute du parachutiste qui dépendra du rayon de celui-ci, et v la vitesse de chute du parachutiste.

L’accélération s’obtient en manipulant la formule physique suivante :

$\Sigma \vec F = m \vec a$ -> $\vec a = \frac{\Sigma \vec F}{m}$ -> $\vec a = \frac{\vec F - \vec P}{m}$


$\Sigma \vec F = \vec F - \vec P$ car la force de frottement $\vec F$ est de sens opposé à la force de pesanteur $\vec P$, explicitées toutes les deux précédemment.

2. Descriptif et manipulation

Voici le modèle à obtenir sur STELLA® pour représenter la chute du parachutiste :

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Modèle
Voici le modèle à obtenir sur STELLA®.

Ce modèle obtenu, il faut ensuite déterminer les valeurs pour les données de notre modèle.

m = 80 kg
g = 9.81 m/s²
rho = 1.293 kg/m³
Cx = 1
S = ?*r^2
r = 0.75 + SMTH3(STEP(1.25, t), 3)
Ffrott = 1/2*rho*Cx*S*vitesse^2
a = (Ffrott - (m*g))/m
vitesse = vitesse initiale = 0
v = vitesse
position = position initiale = 1000

La fonction SMTH permet de lisser la courbe que l’on obtiendra par la suite sur le graphique.
La fonction STEP de la donnée du rayon r amplifie brusquement le rayon après un temps t à définir, ceci reproduit l’ouverture du parachute après ce temps t.
m*g de la donnée de l’accélération équivaut à la force de pesanteur P établie dans l’introduction.
La position a été fixée à 1000 mètres dans l’introduction.

3. Analyse

Admettons que l’on veuille que la vitesse d’atterrissage du parachutiste soit de 10 m/s, sinon il serait impossible pour le parachutiste d’atterrir en un seul morceau. Après plusieurs essais, on remarque que la vitesse se stabilise à 10 m/s avec un parachute de rayon de 2 m.

Analysons ces données grâce à un graphique déterminant la position et la vitesse du parachutiste.

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Représentation graphique
En bleu, la représentation de la vitesse. En rouge, celle de la position du parachutiste.

C’est en tâtonnant avec plusieurs essais qu’on observe que ce temps t se trouve entre 35.5 et 36 secondes, selon la précision exigée. Ainsi, entre ces deux temps calculés, la vitesse d’impact subsiste à 10 m/s.

Grâce aux tâtonnements du programme STELLA®, nous sommes arrivés à reproduire le problème d’une ouverture de parachute lors d’une chute, à obtenir des résultats proches de la réalité, et nous avons ainsi empêché la perte de plusieurs parachutistes.


À noter que le graphique de l’analyse est valable seulement si vous avez entré les mêmes données à entrer dans le descriptif. Chaque changement produit un graphique différent.


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