Tir parabolique

Équation horaire, vitesse et accélération d’une bille
lundi 27 novembre 2006
par  Laurent Chuat, Yannick Schlaeppi
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En lançant une bille sur un plan incliné, on obtient des mouvements plus lents que ceux d’une bille tirée en l’air et on peut garder la trace de la trajectoire de celle-ci. Comme les mouvements d’une bille sur un plan incliné sont de même nature de ceux d’un objet tiré en l’air, on peut utiliser le plan incliné pour étudier le tir.

But du laboratoire : déterminer la vitesse initiale, l’accélération et la vitesse finale d’une bille se déplaçant sur un plan incliné.

Matériel :

- plan incliné avec capteurs reliés à un chronomètre
- bille
- ordinateur avec Mathematica installé

Questions théoriques

1. Vous lancez une bille. Jusqu’où va-t-elle ? Comment doit-on reformuler cette question pour pouvoir y répondre ? Que doit-on connaître ?

Quel est le point de chute de la bille ? Pour répondre à cette question, il nous faut connaître sa vitesse initiale et son accélération (dans le cas d’une bille lancée en l’air, l’accélération est égale à $g$, sur un plan incliné, elle dépend de l’angle d’inclinaison).

2. De quoi dépend l’accélération d’une bille se déplaçant sans frottement sur un plan incliné ?

Sans frottement, l’accélération d’une bille ne dépend que de l’inclinaison du plan incliné.

$\sum \vec F = m \vec a$ et donc $\vec a = \frac {\sum \vec F}{m}$ . La seule force agissant sur la bille étant son poids, la masse s’annule : $\vec a = \frac {m \vec g sin(\alpha)}{m} = \vec g sin(\alpha)$.

On peut également calculer ceci avec la formule $y = - \frac{1}{2} a_{y} t^{2}$.

C’est d’ailleurs pour ceci que tous les objets tombent à la même vitesse lorsqu’ils sont lâchés d’une même hauteur, quel que soit leur masse.

3. La vitesse initiale d’une bille lancée en l’air ou sur un plan incliné modifie-t-elle son accélération ?

Non, comme dit précédemment, l’accélération ne dépend que de l’inclinaison du plan incliné et de la gravité si le frottement est négligé.
La vitesse initiale va cependant influer sur la trajectoire.

4. En quoi le mouvement d’une bille lancée en l’air et celui d’une bille lancée sur un plan incliné sont-ils comparables ?

Dans les 2 cas, la force exercée sur la bille est la même et est constante ainsi que dirigée vers le bas. Seule sa grandeur est diminuée dans le cas du plan incliné. Les 2 trajectoires sont ainsi des paraboles auxquelles on peut associer un horaire de la forme $ \frac{1}{2} \vec a t^{2}+ \vec V_{0} t+ \vec r_{0}$ .

Pratique

Première trajectoire :

Les points obtenus ont été les suivants :

X Y
0 m 0 m
0.114 m -0.05 m
0.161 m -0.1 m
0.195 m -0.15 m
0.234 m -0.2 m
0.249 m -0.25 m
0.272 m -0.3 m

Temps de chute : 0.69 s

Distance parcourue :
selon Ox : 0.274 m
selon Oy : 0.3 m

Deuxième trajectoire :

Les points obtenus ont été les suivants :

X Y
0 m 0 m
0.062 m -0.05 m
0.087 m -0.1 m
0.105 m -0.15 m
0.12 m -0.2 m
0.134 m -0.25 m
0.145 m -0.3 m

Temps de chute : 0.7 s

Distance parcourue :
selon Ox : 0.147 m
selon Oy : 0.3 m

Analyse

Accélération

Dans le cas d’un tir parabolique comme celui-ci, le mouvement peut se décomposer en un MRU sur l’axe Ox et en un MRUA selon l’axe Oy.
La composante selon Ox de notre accélération est donc nulle.
Selon Oy elle peut s’écrire sous la forme de $y = - \frac{1}{2} a_{y} t^{2}$ et donc $a_{y} = - \frac{2 y}{t^{2}}$.

Et donc $a_{y} = - \frac{0.6}{0.69^{2}}= -1.26 m/s^{2}$ pour la première trajectoire, soit $\vec a = (0 ;-1.26) m/s^{2}$.

$a_{y} = - \frac{0.6}{0.7^{2}}= -1.22 m/s^{2}$ pour la deuxième trajectoire, soit $\vec a = (0 ;-1.22) m/s^{2}$.

Vitesse initiale

La vitesse initiale selon Ox est un MRU, elle est donc constante et s’obtient en divisant la distance parcourue par le temps de parcours. La vitesse initiale selon Oy est, quant à elle, nulle. Le début des trajectoires correspond au sommet de la parabole, au moment où le vecteur vitesse est parallèle à l’axe Ox, sa composante selon Oy est donc nulle.

$V_{0x} = \frac {d}{t} = \frac {0.274}{0.69} = 0.4 m/s$ pour la première trajectoire. Et donc $\vec V_{0} : (0.4 ;0)$

et

$V_{0x} = \frac {d}{t} = \frac {0.147}{0.7} = 0.21 m/s$ pour la seconde trajectoire. Et donc $\vec V_{0} : (0.21 ;0)$

Vitesse finale

La vitesse finale selon Ox est égale à la vitesse initiale puisqu’il s’agit d’un MRU. La vitesse finale selon Oy s’obtient, elle, avec la formule $V_{yfinale} = a_{y} t $.

Soit $V_{yfinale} = -1.26*0.69 = - 0.87 m/s $ pour la première trajectoire et donc $\vec V_{finale} : (0.4 ;-0.87)$

Soit $V_{yfinale} = -1.22*0.7 = - 0.85 m/s $ pour la première trajectoire et donc $\vec V_{finale} : (0.21 ;-0.85)$

Équations

Première trajectoire :$ \frac{1}{2} \vec a t^{2}+ \vec V_{0} t+ \vec r_{0}$ avec $\vec a : (0 ; -1.26) m/s^{2}$, $\vec V_{0} : (0.4 ;0) m/s$ et $\vec r_{0} : (0 ;0) m$

Deuxième trajectoire :$ \frac{1}{2} \vec a t^{2}+ \vec V_{0} t+ \vec r_{0}$ avec $\vec a : (0 ; -1.22) m/s^{2}$, $\vec V_{0} : (0.21 ;0) m/s$ et $\vec r_{0} : (0 ;0) m $

Après avoir entré ces points dans l’ordinateur, les équations de ces 2 trajectoires données par Mathematica sont :

- pour la première :$y = -3.94 x^{2}$
- pour la deuxième : $y= -13.97 x^{2}$

Code Mathematica utilisé :

Conclusion

En conclusion, les équations vectorielles obtenues par calcul et les approximations obtenues par Mathematica sont les mêmes, aux erreurs expérimentales près.

Les vecteurs accélérations sont eux aussi égaux en théorie pour les deux trajectoires puisque les conditions ne changent pas. Là encore, il s’agit de prendre en compte les erreurs de mesures.

Enfin, on peut dire que l’équation horaire d’un tir parabolique peut être facilement calculée, et ce, sans recourir obligatoirement à un programme informatique.


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