Tir vertical d’un projectile avec frottement

Stella : intégrateur numérique en cinématique
samedi 27 janvier 2007
par  Daniel Russo
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En cinématique, l’utilisation de STELLA permet de tracer les horaires d’un mobile par intégration pas à pas. De ces horaires nous pouvons déduire des valeurs caractéristiques.

Description du phénomène physique

Lorsqu’on lance verticalement un projectile de masse m vers le haut avec une vitesse initiale $v_0$ au temps $t_0$ = 0 s, ce projectile est soumis à une force pesante :

$\vec{F}_{p}=m\vec g$

qui est toujours dirigée vers le bas et à une force de frottement due à l’air qui est proportionnelle au carré de la vitesse et qui est de sens opposé au sens de déplacement :

$\vec{F}_{frott}=\mu\vec {v}^2$

ou $\mu$ est le coefficient de proportionnalité.
La force résultante selon la loi fondamentale de la dynamique, est égale à :

$\vec{F}_{res}= m\vec a$

Donc, l’accélération est égale :

$\vec{a}=\frac{\vec{F}_{res}}{m}$

Lorsque le projectile monte, la $\vec{F}_{res}$ est égale à :

$\vec{F}_{res}=\vec{F}_{p}+\vec{F}_{frott}$

La force de frottement s’oppose au mouvement et freine la montée du projectile.

La vitesse diminue jusqu’à devenir nulle, alors le projectile aura atteint la hauteur maximum $h_{max}$
Ensuite sous l’effet de la force pesante $\vec{F}_{p}$ qui est toujours dirigée vers le bas, le projectile descend verticalement avec une vitesse dirigée vers le bas et donc négative, et une force de frottement $\vec{F}_{frott}$ dirigée vers le haut.

Le projectile de masse m retournera ainsi à son joint de départ.

Par la cinématique, l’accélération est donnée par :

$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}$

et la vitesse :

$\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}$

Utilisation du logiciel Stella

Dans notre cas nous pouvons utiliser le logiciel Stella comme intégrateur numérique.
En intégrant l’accélération, c’est-à-dire en multipliant l’accélération par un intervalle de temps dt, on obtient la vitesse.
Nous pouvons représenter ce modèle avec STELLA comme ci-dessous :

Ensuite la vitesse de grandeur cumulative sera utilisée comme grandeur instantanée (flux) pour calculer la distance parcourue.

Ainsi en connaissant l’accélération, la vitesse initiale et la position initiale d’un corps, nous pouvons trouver avec STELLA à chaque intervalle de temps, sa position, sa vitesse, son accélération et nous pouvons visualiser sa trajectoire (l’horaire du projectile).

Modèle Stella en cinématique

Le modèle « Stella » permettant de simuler tout mouvement cinématique est comme ci-dessous.

Comme les réservoirs vitesse et position peuvent se remplir ou se vider, il faut que les flux soient des biflow, car ils représentent des grandeurs positives ou négatives.

Exemple pratique pour un tir vertical avec frottement

Données numériques :
Masse du corps : m = 100 kg

Accélération terrestre : g = 9.81 m/s2

Vitesse initiale : v0= 35 m/s

Coefficient de proportionnalité entre la force de frottement et le carré de la vitesse : $\mu$= 0.3 kg/m

Modèle STELLA permettant de simuler notre exemple numérique

Formules et valeurs utilisées

Graphique des horaires

Méthode numérique et pas utilisés : Euler, dt=0.25 s.

Tableau des valeurs

Dans ce tableau, nous pouvons déduire :

La hauteur maximale atteinte par le corps est d’environ : 56.57 m.

Le temps de montée est d’environ : 3.25 s.

Le temps de descente est d’environ : 3.75 s.

La vitesse finale avant de toucher le sol est d’environ :-33.36 m/s.

Conclusion :

L’utilisation du logiciel STELLA comme intégrateur numérique, nous a permis de pouvoir obtenir les horaires et un tableau numérique du projectile subissant un tir vertical.
Sur le tableau numérique, nous pouvons déduire avec une bonne approximation, le temps de la monté et de la descente, la hauteur maximum atteinte, ainsi que la vitesse finale au moment où le projectile touche le sol.

L’utilisation d’un pas d’intégration plus petit que dt = 0.25 s, nous aurait permis d’avoir des valeurs plus précises, mais le tableau aurait été trop long pour le faire apparaître dans cet article.

Il faut toujours tenir à l’esprit que le flux peut remplir et vider le réservoir.
Dans notre exercice lors de la montée du projectile, les flux remplissent les réservoirs, tandis que lors de la descente les flux vident les réservoirs.


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