Travail Pratique : Les Oscillations

mardi 6 mars 2007
par  Jérémie Jaccard, Tiago Morais
popularité : 2%

Il y a deux manières de mesurer la raideur d’un ressort : la méthode statique et la méthode dynamique. Dans l’une on mesure la déformation du ressort (élongation ou encore altération de la position d’équilibre) avec différentes masses. L’autre consiste en la mesure de la période d’oscillation d’une masse.

Expérience

Oscillateur harmonique

1.

Masse mElongation
0.0 0.0
10 0.033
20 0.066
50 0.165
70 0.232
100 0.331
120 0.401
150 0.492

Les mesures sont respectivement en grammes[g] et en mètres[m]

2.
Pour trouver la raideur, il suffit de diviser la force par l’élongation pour obtenir des Newtons par mètre

ForceElongationRaideur calculée
0.0 0.0 -
0.0981 0.033 2.973
0.1962 0.066 2.973
0.4905 0.165 2.973
0.6867 0.232 2.960
0.981 0.331 2.964
1.1772 0.401 2.936
1.4715 0.492 2.991

Mesures en : Newtons[N], mètres[m] et Newtons par mètre[N/m]

Raideur k moyenne : 2.96714

3.
Après avoir suspendu une masse m de 30 g à deux ressorts différents, nous obtenons pour le premier ressort une période d’oscillation de :

T1=0.69[s] ( n=15 périodes)

et pour le deuxième ressort une période de :

T2=0.33[s] ( n=29 périodes)

4.

Pour trouver les constantes k des deux ressorts nous allons utiliser la formule :

$ T= 2\pi*\sqrt{m/k}$

donc

$k=m/(T/2\pi)^{2}$

Avec m=0.03 [kg] et T1=0.69 [s]

k=2.48 N/m

puis avec T2=0.33

k=10.88 N/m

5.

$2*T=2*2\pi\sqrt{m/k}$

$2*T=2\pi\sqrt{4m/k}$

Pour doubler la période il faut quadrupler la masse du fait que m est sous une racine carrée ce qui nous donne une masse de 120 g.

Vérifions expérimentalement notre pronostic en suspendant au même ressort une masse de 120 g.

T1= 1.31 s Valeur attendue : 1.38 s => Incertitudes : abs. : 0.07 s relat. : 5.07% ( n=7 périodes)

T2=0.64 s Valeur attendue : 0.66 s => Incertitudes : abs. : 0.02s relat. : 3.125% ( n=14 périodes)

Nous remarquons qu’en quadruplant la masse, la période double (nous obtenons le double des valeurs précédentes).

Questions

1.
Equation différentielle de l’oscillateur harmonique :

$ mx’’(t)=-kx(t)$

avec $ x(t)= Asin(\omega*t+\phi) $ et $x’’(t)=-\omega^{2}Asin(\omega*t+\phi)$

donc

$-m\omega^{2}Asin(\omega*t+\phi)=-kAsin(\omega*t+\phi)$

$m\omega^{2}Asin(\omega*t+\phi)-kAsin(\omega*t+\phi)=0$

$Asin(\omega*t+\phi)*[m\omega^{2}-k]$

L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique admet effectivement comme solution $ x(t)= Asin(\omega*t+\phi) $

2.
A représente une amplitude, la distance entre la position de repos de l’oscillateur harmonique et le sommet de son oscillation (v=0). Cette grandeur se mesure en mètres.

$\omega$ représente une vitesse angulaire, une vitesse de rotation. Celle-ci s’exprime en rad/s ( radians par seconde ).

$\phi$ quant à lui symbolise un déphasage, une écart entre la position initiale et le zéro "commun". Ce dernier se calcule en radians.

3.
$T=2\pi/\omega$ et $\omega=\sqrt{k/m}$

d’où :

$T=2\pi\sqrt{m/k}$



Commentaires  forum ferme

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jeudi 22 février 2007 à 15h38 - par  Bernard Vuilleumier

Appréciation

Travail satisfaisant

Remarques
- J’aurais bien aimé avoir une comparaison des raideurs obtenues par la méthode statique et par la méthode dynamique (pour les deux ressorts) et une explication sur les différences éventuelles.
- Estimez les incertitudes de vos mesures.
- Lorsque vous donnez la raideur moyenne, il faut rappeler les unités.
- Votre démarche pour démontrer que la fonction $Asin(\omega t+\phi)$ satisfait l’équation du mouvement de l’oscillateur harmonique n’est pas terminée. La dernière ligne est incomplète (ce n’est plus une équation). Écrivez-la correctement, divisez ensuite l’équation obtenue par $Asin(\omega t+\phi)$ et concluez (dites quelle valeur doit prendre $\omega$ pour que l’égalité soit vraie).
- Vous parlez d’une vitesse angulaire de rotation. Je ne vois pas très bien ce qui est en rotation dans cette situation. Pouvez-vous m’éclairer sur ce sujet ?