Distance sur une sphère

Longueur d’un arc de grand cercle
dimanche 30 mars 2008
par  Laurent Chuat, Yannick Schlaeppi
popularité : 2%

1. But : Calculer des arcs de grands cercles à partir d’une sphère en sagex et les comparer aux véritables arcs de grands cercles terrestres

2. Questions :

- Question 1

La latitude est une valeur angulaire donnant la position nord-sud d’un point par rapport à l’équateur. Cette valeur va de -90 à +90°, soit de 90° de latitude sud (pôle sud) à 90° de latitude nord (pôle nord), en passant par l’équateur à 0°.

La longitude est, elle aussi, une valeur angulaire, mais donnant cette fois-ci la position est-ouest d’une point par rapport à un méridien de référence. La longitude s’exprime de -180 à +180° ce qui correspond à 180° de longitude ouest et 180° de longitude est.

Le grand cercle d’une sphère est un cercle tracé à la surface de celle-ci, de même diamètre que la sphère et qui la divise en deux hémisphères égaux. Le plan formé par ce cercle passe toujours par le centre de la sphère. C’est le plus grand cercle que l’on puisse dessiner sur une sphère.

- Question 2

Par convention, on exprime les latitudes et longitudes en degrés sexagésimaux ou Degrés(°) Minutes (’) Secondes ("). Un degré vaut 60 minutes et une minute vaut 60 secondes.

Les mesures de latitude se font par rapport à l’équateur, celles de longitude sont mesurées à partir du méridien de référence, celui de Greenwich.

L’origine utilisée sur Terre (le point (0 ;0)) se trouve donc à l’intersection de l’équateur et du méridien de Greenwich.

- Question 3

Genève : 46°12’ de latitude Nord et 6°9’ de longitude Est
Washington : 38° 53’ de latitude Nord et 77° 02’ de longitude Ouest
Brasilia : 15°30’ de latitude Sud et 47°51’50" de longitude Ouest
Melbourne : 37°49’ de latitude Sud et 144°58’ de longitude Est

- Question 4

Les coordonnées cartésiennes (x,y,z) d’une sphère peuvent être obtenues de la manière suivante à partir de coordonnées sphériques (r, $\theta$, $\phi$) :

$x = r \cos(\theta}) \cos(\phi)$

$y = r \sin(\theta}) \cos(\phi)$

$z = r \sin(\phi)$

Les angles $\theta$ et $\phi$ correspondent aux angles suivants :

Source de l’image

- Question 5

Pour calculer l’arc de grand cercle $s$ entre deux points à la surface d’une sphère, ce qui représente le chemin le plus court entre ceux-ci, il s’agit de partir de la définition suivante :

$s = \alpha r$ où l’angle $\alpha$, exprimé en radians, représente l’angle entre les deux vecteurs partant du centre de la sphère vers les deux points concernés, et $r$ étant le rayon de la sphère en mètres.

Pour déterminer l’angle $\alpha$, il faut prendre la définition du produit scalaire qui nous dit que le produit scalaire de deux vecteurs $\vec p_1 $ et $\vec p_2$ est égal au produit de leur norme et du cosinus de l’angle entre eux.

$ \vec p_1 \cdot \vec p_2 = || \vec p_1 || \cdot || \vec p_2 || \cos(\alpha)$

Pour nos deux points, leur norme est égale au rayon de la Terre ce qui donne :

$ \vec p_1 \cdot \vec p_2 = r^2 \cos(\alpha)$

Connaissant les coordonnées de nos deux vecteurs soit :

$\vec p_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} r \cdot \cos(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \\ r \cdot \sin(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \\ r \cdot \sin(\phi_1) \end{pmatrix}$

et

$\vec p_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} r \cdot \cos(\theta_2) \cdot \cos(\phi_2) \\ r \cdot \sin(\theta_2) \cdot \cos(\phi_2) \\ r \cdot \sin(\phi_2) \end{pmatrix}$

On a donc :

$\begin{eqnarray*} \vec p_1 \cdot \vec p_2 & = & x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \\ & = & r \cdot \cos(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot r \cdot cos(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; r \cdot \sin(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot r \cdot sin(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; r \cdot \sin(\phi_1) \cdot r \cdot sin(\phi_2) \end{eqnarray*}$

soit :

$\begin{eqnarray*} \vec p_1 \cdot \vec p_2 & = & r^2 \cdot ( \cos(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot cos(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; \sin(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot sin(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; \sin(\phi_1) \cdot sin(\phi_2) ) \end{eqnarray*}$

On peut donc écrire que

$\begin{eqnarray*} r^2 \cos(\alpha) & = & r^2 \cdot ( \cos(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot cos(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; \sin(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot sin(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; \sin(\phi_1) \cdot sin(\phi_2) ) \end{eqnarray*}$

Puis en simplifiant par $r^2$ et en prenant la réciproque du cosinus on obtient finalement :

$\begin{eqnarray*} \alpha & = & \arccos( \cos(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot cos(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; \sin(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot sin(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; \sin(\phi_1) \cdot sin(\phi_2) ) \end{eqnarray*}$

On voit bien ici que l’angle ne dépend donc pas du rayon de la sphère. Pour obtenir l’arc il suffit maintenant de multiplier notre angle par le rayon (ici celui de la Terre) ce qui donne finalement :


$\begin{eqnarray*} s & = & r \arccos( \cos(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot cos(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; \sin(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot sin(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; \sin(\phi_1) \cdot sin(\phi_2) \end{eqnarray*}$

À noter que pour les angles $\theta$ et $\phi$, il ne faut pas oublier de convertir les latitudes et longitudes données en degrés sexagésimaux en degrés décimaux. De même, l’angle $\alpha$ doit être converti en radians pour obtenir l’arc.

3. Mesures

On place quatre épingles symbolisant la position des quatre villes et on mesure la distance entre les épingles, soit :

Villes Distance mesurée sur la sphère (cm)
Genève-Washington 27.4 ± 0.2
Genève-Brasilia 35 ± 0.2
Genève-Melbourne 63.6 ± 0.5

Le grand cercle de la sphère de sagex mesure : 157 ± 1 cm

4. Calculs

En prenant un rayon terrestre moyen de 6371 km, soit 6’371’000 m, le grand cercle de la terre vaut $2 \pi r$ soit environ 40’030’000 m.

Pour convertir les distances mesurées sur notre sphère en distance terrestre, il s’agit d’un produit en croix :

$d_{terrestre} = \frac{d_{mesurée} \cdot \text{grand cercle terrestre}}{\text{grand cercle de la sphère}}$

Ce qui donne pour nos distances entre villes :

Villes Distance terrestre expérimentale (km)
Genève-Washington 6’986 ± 95
Genève-Brasilia 8’924 ± 108
Genève-Melbourne 16’216 ± 231

Pour obtenir la distance théorique à partir des coordonnées géographiques des villes, la formule est :

$\begin{eqnarray*} s & = & r \arccos( \cos(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot cos(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; \sin(\theta_1) \cdot \cos(\phi_1) \cdot sin(\theta_2) \cdot cos(\phi_2) \\ & & + ~; \sin(\phi_1) \cdot sin(\phi_2) \end{eqnarray*}$

Les angles $\theta$ représentent la longitude et les angles $\phi$ représentent la latitude. À noter qu’il faut les convertir en degrés décimaux. On obtient alors :

Villes Distance terrestre théorique (km)
Genève-Washington 6’546
Genève-Brasilia 8’731
Genève-Melbourne 16’530

Ces valeurs restent, somme toute, assez proches si l’on tient compte de l’incertitude. Il aurait par contre fallu estimer l’erreur lors du positionnement des épingles symbolisant les villes, ce qui peut expliquer l’écart restant, même en tenant compte des incertitudes.

5. Conclusion

Très peu de matériel suffit à calculer et représenter les distances entre différents points du globe. À l’aide d’une simple sphère en sagex et connaissant les coordonnées géographiques de 4 villes, nous sommes parvenus à des valeurs relativement proches des valeurs réelles, même si nos erreurs de mesures et de placement des villes ont été quelques peu sous-estimées.


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