Épreuve d’applications des maths

mardi 1er avril 2008
par  Aymeric Genet
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Problème 1

a) L’équation différentielle générale permettant d’obtenir les graphiques demandés est la suivante :

$y’(t) = c \cdot y(t) (y_{max}-y(t))$
$y(0) = y_0$

Les valeurs que nous pouvons d’ores et déjà déterminer sont les suivantes :

Données Valeurs
y0 0.1
ymax 1

C’est le paramètre "c" qui changera la courbure des 4 courbes demandées.

b) Elle peut se résoudre à l’aide de Mathematica, de la manière suivante :

c) Le paramètre c doit être égal aux valeurs suivantes afin d’obtenir les graphiques demandés :

Courbes c
#1 0.4
#2 0.6
#3 0.8
#4 1.0

Ce paramètre est bien sûr estimé et possède une marge d’erreur de ± 0.05.

d) L’occupation d’une niche écologique pourrait être un exemple de ce modèle.

e) Dans cette condition, les données sont les suivantes :

Données Signification
y(t) Le nombres d’individus, ou la population en fonction du temps.
y’(t) L’augmentation des naissances par unité de temps.
y0 La population initiale lorsque t = 0.
ymax La population maximale, ou la capacité du milieu.
c Paramètre ou taux de croissance de la population.

Problème 2

a) L’équation peut s’écrire de manière différente afin d’être résolue plus facilement grâce à Mathematica :

$\frac{dy}{dx} = e^{-y} Cos^2(\pi x)$

$y’(x) = E^{-y} Cos^2(\pi x)$

Donc, elle peut être résolue de la manière suivante :

b) Sachant qu’en x = 0, y = ln(e), le graphique de la solution pour 0 < x < $\pi$ est le suivant :

Problème 3

a) La solution de l’équation y’ = 2x² - y/x satisfaisant la condition initiale est la suivante :

b) Le graphique de cette solution pour -4 < x < 4 est le suivant :

Problème 4

a) La solution générale de l’équation x’’ + x = 0 est la suivante :

b) Pour déterminer les valeurs des constantes d’intégration sachant qu’en t = 0, x = 1 et x’[t] = 2, il faut poser les conditions dans Mathematica de la manière suivante :

c) Le graphique de cette solution satisfaisant les conditions pour t variant de 0 à $2\pi$ est le suivant :

d) Pour obtenir la solution correspondant aux valeurs aux limites x(0) = 1 et $x(\frac{\pi}{2}) = 0$, il faut poser les conditions et résoudre l’équation avec Mathematica, puis dessiner la fonction, de la manière suivante :

Ce qui nous donne le graphique suivant :

Problème 5

a) Pour résoudre numériquement le système d’équations :

$x’(t) = 1 + x(t)²y(t) - \frac{7}{2} \cdot x(t)$
$y’(t) = \frac{5}{2} \cdot x(t) - x(t)²y(t)$

Il faut savoir que pour résoudre numériquement une équation, il faut déterminer une portée pour t, allant d’un tmin à un tmax. Nous allons donc déterminer tmin = 0, et tmax = 10, répondant ainsi directement au deuxième point, et utiliser la formule NDsolve dans Mathematica de la manière suivante :

b) Le graphique obtenu de ce système d’équations, avec t variant de 0 à 10, est le suivant :

c) Pour x(0) variant de 0 à 3, il faut lancer dans Mathematica le code suivant :

Les quatre premiers graphiques sont les graphiques de x(t), les quatre suivants sont les graphiques pour y(t).


Commentaires  forum ferme

Logo de Bernard Vuilleumier
mardi 18 mars 2008 à 23h17 - par  Bernard Vuilleumier

C’est très bien, presque parfait : 5.5. Deux remarques :
- dans l’exercice 5, j’aurais bien aimé une représentation de la solution dans le plan xy avec t comme paramètre, ce qui s’obtient de la manière suivante :


- Certaines images sont légèrement tronquées à gauche (les zéros sur l’axe vertical) et d’autres présentent de petites « bavures » sur le bord droit. Essayez, à l’avenir, de mieux les cadrer avant de les copier !