La croissance limitée

Stella et le comportement de croissance limitée
dimanche 30 mars 2008
par  Erwan Broch
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RAPPORT D’APPLICATIONS DES MATHEMATIQUES 17/12/07
TABLE DES MATIERES

1. INTRODUCTION :

  • Que fait Stella ?

2. LA CROISSANCE LIMITEE :

  • Comment obtenir un tel comportement ?
  • Carte
  • Modèle
  • Graphique

3. CONCLUSION


1. INTRODUCTION

Tout d’abord, avant d’illustrer le comportement de croissance limitée, nous allons décrire brièvement le logiciel avec lequel nous travaillons.

Stella (Structural Thinking, Experiental Learning Laboratory with Animation) est un programme informatique crée par HPS permettant la modélisation et la simulation de toutes sortes de problèmes et de systèmes (qui peuvent affecter notre vie courante, comme par exemple, le problème du remplissage d’un réservoir, ou celui de l’évolution d’une population). Ce logiciel est un intégrateur numérique (des compléments d’information sont disponibles à l’adresse suivante.

Il possède une interface graphique avec laquelle nous pouvons construire des "cartes" de modèles en interagissant avec différents "outils" mis à notre disposition :

- des réservoirs :

Les réservoirs représentent les grandeurs du modèle pouvant s’accumuler (volume, population, distance parcourue, énergie, ...).

- des flux :

Les flux sont les grandeurs instantanées du modèle (débit, naissance par unité de temps, vitesse, puissance, ...).

- des facteurs tiers :

Les facteurs tiers sont des grandeurs annexes qui agissent sur les flux et également entre eux (natalité et mortalité, constante de temps, poids d’un objet, masse d’un objet, ...).

- des liens :

Les liens permettent de faire agir les réservoirs ou les facteurs tiers sur les flux (Attention : nous ne pouvons pas agir sur un réservoir avec un lien, la seule manière de modifier le contenu d’un réservoir est de le lier à un flux). Ces liens intègrent le contenu des réservoirs et des facteurs tiers dans les flux, c’est pour cette raison que nous disons que Stella est un intégrateur numérique.

Pour construire un modèle, il faut d’abord commencer par représenter les grandeurs correspondantes au problème que nous voulons résoudre et indiquer les relations qu’elles entretiennent entre elles. Ensuite, il faut différencier les grandeurs pouvant se stocker (les réservoirs) de celles qui sont instantanées (les flux).

Finalement, à partir de ces "cartes" de modèle le logiciel forme les équations des flux et procède à leur intégration numérique. Il crée également les évolutions correspondantes. Tout ceci peut être ensuite simulé et représenté graphiquement.


2. LA CROISSANCE LIMITEE

A l’aide de Stella, nous allons pouvoir créer une "carte" de modèle qui va nous servir à pouvoir simuler le comportement de croissance limitée.

Ce genre de comportement peut s’obtenir à l’aide d’un modèle simple. Nous allons uniquement avoir besoin d’un réservoir connecté par un lien à un flux (ce modèle de base sur Stella peut représenter d’autres comportements, comme par exemple, la croissance linéaire et exponentielle, le déclin linéaire et exponentiel, et finalement, la courbe logistique).

La carte

Pour obtenir ce comportement il faut donc :

- un réservoir :

réservoir 1

- faire correspondre un flux à ce réservoir :

flux et réservoir

- et, enfin, relier le réservoir au flux par un lien :

modèle 1

Quand le modèle est créé, il faut maintenant définir le flux d’une manière spcécifique. C’est le type de la fonction se trouvant dans le flux qui, lors de la simulation, va nous donner une croissance limitée ou un autre comportement.

Dans le cas de la croissance limitée, le réservoir doit être doté d’une valeur maximale qui sera atteinte après une certaine constante de temps.

Un modèle pouvant illustrer le comportement de croissance limitée peut être le suivant :

modèle 2

Le modèle

Le flux sera défini par la fonction suivante :

$\frac(valeurMaximale-réservoir)valeurMaximale*\frac1constanteDeTemps$

Le graphique

En faisant le graphique représentant le contenu du réservoir en fonction du temps :

graphe 1

Pour cette représentation graphique, le réservoir est initialement vide, la valeur maximale est de 1, et la constante de temps, qui représente approximativement le temps après lequel le réservoir est au deux tiers de la valeur maximale, est égale à 2.

En étudiant la définition du flux et la représentation graphique donnée précédement, nous pouvons remarquer deux choses :

- Quand le réservoir atteint sa valeur maximale le débit ou la pente est nulle, et la valeur reste égale à la valeur maximale (elle suit l’asymptote horizontale définie par la valeur maximale).

- Le volume augmente d’abord rapidemment, et plus nous nous rapprochons de la valeur maximale du modèle, plus le volume croît faiblement et lentement.

Pour peut-être mieux comprendre ce genre de comportement, nous pouvons donner un exemple de la vie courante illustrant parfaitement le phénomène de croissance limitée : la chasse d’eau.

En effet, dans cette situation, le réservoir serait la chasse d’eau dotée d’une capacitée maximale et d’une certaine constante de temps. La définition du flux serait la même que pour le cas général donné précédement, simplement, dans ce cas nous parlerions de volume et de volume maximum et non plus de réservoir et de valeur maximale.


3. CONCLUSION

Pour conclure, nous pouvons dire qu’avec ce travail de recherche nous avons pu remarquer que Stella, de par sa configuration ludique et son apparence plutôt simple, est un logiciel qui aide considérablement à se représenter concrètement les différentes particularités des situations à étudier (par exemple, pour des cas plus compliqués que celui de croissance limitée, comme celui du parachutiste où des forces comme la force de frottement intreviennent dans le modèle).

Pour toutes informations supplémentaires, visiter la rubrique Stella.


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