La parabole du chaos

samedi 29 mars 2008
par  Florian Matthey
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Dans l’article qui suit, je vais tenter de répondre à diverses questions que l’on peut se poser au sujet de "La parabole du chaos". Nous verrons, par exemple, quelle est l’utilité de celle-ci dans le(s) phénomène(s) dit chaotique, quelles sont ces caractéristiques, etc. Les questions se poseront au fur et à mesure de l’avancement de l’article.

Pour commencer, il s’avère nécessaire d’expliquer en quelques mots en quoi consiste la théorie du chaos.

La théorie du Chaos

La théorie du chaos traite des systèmes dynamiques, c’est-à-dire qui évoluent au cours du temps d’une manière causale et déterministe.

Le terme " chaos " définit alors un état particulier d’un système caractérisé par les comportements suivants :

- Il n’y a aucune répétition.

- Il y a une dépendance sensible aux conditions initiales : des différences extrêmement faibles des valeurs paramétriques peuvent aboutir à des résultats très divergents et totalement imprévisibles sur le long terme.

Les systèmes en état de chaos sont donc ordonnés, déterministes et imprévisibles.

La parabole et le chaos

Il est possible d’obtenir un système chaotique à l’aide d’une parabole et d’une droite de pente 1 (allant de l’origine au point (1 ;1)). C’est Mitchell Feigenbaum (19 décembre 1944 - ) qui eut cette idée, en s’inspirant d’une équation analogue que Robert May étudia en biologie des populations. Feigenbaum utilisa donc cette parabole dans le but de comprendre ce qui se passe lorsque l’on itère (pour en savoir plus au sujet des itérations, allez voir la fin de l’article) la fonction suivante :

$y=r(x-x^{2})$

ou

$y=rx(1-x})$

BMP - 161.3 ko
Représentation graphique de la fonction rx(1-x) avec r=1 sur l’intervalle [0 ;1]

Cette fonction à première vue banale permet, lorsqu’on la compose avec elle-même d’obtenir des comportements d’une richesse extraordinaire. Elle est définie sur l’intervalle [0,1] car c’est uniquement sur cet intervalle que y prend des valeurs positives.

Quelle est l’utilité de cette parabole ?

Comme je l’ai dit, Feigenbaum eut l’idée d’itérer cette fonction infiniment afin de mieux comprendre le phénomène du chaos. La parabole et la droite permettent justement de voir ce qui se passe.
Le principe est simple, on part d’une valeur initiale x, et on remonte jusqu’au point y de la parabole, ensuite on reporte la valeur y sur l’axe des x et ainsi de suite. Pour résumer, le résultat d’une étape sert de donnée pour l’étape prochaine et, grâce à la parabole et la droite, nous pouvons voir ce qui se passe plus précisément, cela devient alors plus compréhensible et moins abstrait.

Peut-on utiliser une autre fonction qu’une parabole pour obtenir un chaos ?

Oui, il est possible d’utiliser une autre fonction que la parabole. Par exemple, la fonction dite "tente". Cependant, la parabole reste la plus intuitive.

Comment représenter graphiquement la parabole du chaos et un système chaotique à l’aide de Mathematica ?

Tout d’abord, il est nécessaire d’utiliser le code ci-dessous.

Nous devons ensuite utiliser la fonction Orbit et définir l’équation de notre parabole sous forme d’une fonction pure afin d’éviter de la définir préalablement. Une fonction pure ne comporte ni le nom de la fonction, ni de l’argument. En ce qui concerne la notation dans Mathematica, il faut remplacer le x par # et mettre à la fin de la fonction, le signe & afin de signaler qu’il s’agit d’une fonction pure.

Normalement, si tout va bien, le graphique qui suit est obtenu.

Petite précision, cette application n’est pas chaotique mais nous verrons plus loin comment en obtenir une.

Quelles sont les conséquences engendrées lorsque l’on modifie certaines données de la parabole ?

Maintenant, nous allons voir ce qui se passe lorsque nous modifions les paramètres de la fonction Orbit afin de comprendre leurs rôles, leurs influences, ainsi que le cheminement pour obtenir une application chaotique.

Le paramètre r

Nous allons définir le paramètre r avec des valeurs comprises entre 2 et 4 car une valeur plus petite que 2 n’est d’aucune utilité et une plus grande que 4 n’est plus comprise dans le domaine de définition attribué auparavant.

BMP - 170.4 ko
paramètre r=2
BMP - 161.3 ko
r=3
BMP - 169 ko
r=4

- Quel est le rôle du paramètre de la parabole ?

Le paramètre r de la parabole permet globalement d’améliorer l’aspect visuel de la parabole et des itérations. Nous allons donc fixer le paramètre à son maximum (possible) c’est-à-dire à 4.

Modification de la valeur initiale x

Nous allons maintenant voir les conséquences qu’entraînent une légère modification de valeur initiale x.

Regardons ce qui se passe pour des valeurs de x comprises entre 0 et 1.

Lorsque x=0, nous obtenons le graphique ci-dessous.

Ce graphique sera toujours le même peu importe le nombre d’itérations. On peut donc en déduire que lorsque x=0, il y a une période de 1. On peut alors définir l’application comme étant cyclique.

Graphiques allant pour x de 0.2 à 0.8 par pas de 0.3 :

BMP - 159.4 ko
Valeur initiale x=0.2
BMP - 153.6 ko
Valeur initiale x=0.5
BMP - 158 ko
Valeur initiale x=0.8

Enfin, regardons ce qu’il se passe avec x=1.

BMP - 161.6 ko
Valeur initiale x=1

Lorsque x=1, l’itération pour un nombre d’itération n plus grand que 1 nous donne toujours le même graphique (sauf pour n=0), on peut donc dire qu’il décrit un cycle de période 1. Il y a donc une symétrie avec x=0. Ce qui est tout à fait normal.

- Que peut-on constater ?

Si on souhaite obtenir un système chaotique, il est nécessaire d’appliquer des valeurs de x allant de 0 à 1 (tous deux non compris). Cependant, nous pouvons constater qu’une simple modification du paramètre x peut déjà engendrer des comportements très différents malgré le fait que l’on itère la fonction qu’une seule fois, cela laisse présager la variété de résultats que nous aurons lorsqu’elle sera itérée plusieurs fois.

L’itération de la parabole

Pour cette partie, je vais montrer comment l’itération d’une parabole peut influencer un système chaotique. Prenons le code suivant :

Comme on peut le voir, cette fonction n’est pas itérée. Nous allons donc voir comment cela évolue en modifiant le nombre d’itération en allant de 0 à 20 par pas de 5.

BMP - 151.4 ko
Nombre d’itération=0
BMP - 154.5 ko
Nombre d’itérations=5
BMP - 161.5 ko
Nombre d’itérations=10
BMP - 154.3 ko
Nombre d’itérations=15
BMP - 157 ko
Nombre d’itérations=20

Comparons le dernier graphique avec un autre dont on aura modifié la valeur initiale x mais conserver le nombre d’itération de 20 afin de voir les différences.

- Que peut-on dire au sujet de l’itération ?

L’itération permet d’obtenir des comportements très variés comme on peut le voir avec l’évolution du paramètre n. De plus, lorsqu’on change la valeur initiale $x_{0}$ de 0.1, on constate que nous obtenons une évolution totalement différente, ce qui confirme une fois de plus qu’une infime différence peut donner lieu à des évolutions totalement différentes.

Comment peut-on déterminer si une application est chaotique à l’aide de la parabole du chaos ?

A l’aide de la parabole, il est possible de déterminer si le système. Voyons différentes situations.

- La périodicité peut-elle définir le chaos ?

L’application suivante présente une période de 2, elle est cyclique. On peut le voir ci-dessous lorsque l’on modifie le nombre d’itération, nous arrivons au même résultat.

ou

Or, dans ce cas là, la période ne suffit pas à décrire le chaos, malgré le fait qu’il y a une forte sensibilité aux conditions initiales ! Seule la période 3 implique le chaos !

- Conditions pour une application chaotique

1. Sensibilité aux conditions initiales.

2. Les itérés passent par tous les points de la droite.

- Illustration

Comme on peut le voir, cette application est chaotique car elle répond aux conditions 1 et 2.

Conclusion

"La parabole du chaos" permet de faciliter la compréhension du phénomène du chaos, en somme il suffit d’observer pour mieux comprendre. De nos jours, à l’aide de l’informatique et d’un logiciel tel Mathematica, la tâche est grandement facilitée, cela prouve que l’informatique joue un rôle majeur dans la compréhension de phénomènes scientifiques qui peuvent paraître dans un premier temps totalement abstraits et peu intuitifs. Par ailleurs, nous pouvons aussi remarquer dans ce travail à quel point les valeurs attribuées sont déterminantes, c’est ce qu’on appelle la sensibilité aux conditions initiales, une des caractéristiques majeures du chaos.


Les itérations dans Mathematica

Lorsqu’on itère une fonction cela signifie que l’on peut répéter n fois la valeur d’une fonction quelconque (pour un certain $x_{0}$), ayant comme valeur initiale le résultat de l’itération précédente.

Mathemathica permet d’illustrer cela grâce à la commande Nest et NestList.

Prenons l’équation de la parabole et itérons-la avec des valeurs (prises au hasard) afin de comprendre ce qu’est une itération.

J’ai défini l’équation de la parabole (à l’aide d’une fonction pure) et itérez cinq fois celle-ci avec une valeur initiale de 0.1.
Nous obtenons, avec NestList, les résultats suivants :

0.1, 0.09, 0.0819, 0.0751924, 0.0695385, 0.0647029.

A noter que nous obtenons n+1 valeurs car la valeur initiale est prise en compte. Ces résultats s’interprètent de la manière suivante.

xy
0.1 0.09
0.09 0.0819
0.0819 0.0751924
0.0751924 0.0695385
0.0695385 0.0647029

Le même principe est appliqué pour la parabole du chaos, la valeur résultante y, d’une certaine valeur x, est prise à son tour comme valeur de x et ainsi de suite.


Sources

Internet

Conférence sur le chaos

Corrigé d’une épreuve d’AM

La parabole du chaos

Le chaos (historique)

Wikipedia

Livre

- GLEICK James, la théorie du chaos vers une nouvelle science, Flammarion, 1989, Paris.

Autre

- Cours d’application des maths 3ème et 4ème année.



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