Modélisation du tir vertical d’un projectile

mercredi 16 janvier 2008
par  Tomas Kracmer
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Le but de cette présentation est de pouvoir modéliser le comportement d’un projectile lancé à la verticale. Nous pourrons utiliser le programme d’intégration STELLA qui nous montrera le comportement du projectile en fonction du temps.

On lance un objet d’une certaine masse – par exemple une bille en acier d’une masse m=0.5 kg – vers le haut à une certaine vitesse, ici V=20 m/s. Etant donné que la masse volumique de l’acier est de ρ=7850 kg/m3, ce qui fait que son volume est Volume=1.27x10-5 m3, la bille aura donc un rayon de r=0.02 m et un coefficient de forme de Cx= 0.24. Pour simplifier le problème, on dira que la bille sera lancée depuis le sol qui est à la hauteur h=0 m. On prend rhô, la masse volumique de l’air qui est de 1,293 kg/m3.
Or, on sait que cette bille subira des forces durant sa course du bas vers le haut et du haut vers le bas, parce qu’elle aura une accélération et si a>0 ou a<0 alors F existe. On le prouve par la relation :
$\sum \vec F = m \times \vec a$
Les vecteurs F et v à prendre en compte sont par conséquent :

-  La vitesse de l’objet dès l’origine
-  La force pesante signalée par $\vec Fp$
-  La force de frottement notée $\vec F$frott

Avec le logiciel STELLA, nous pouvons déjà indiquer le modèle de base pour les problèmes de cinématique à 1 dimension :

Seules choses à ne pas oublier de modifier sont de changer les deux flux en BIFLOW, au lieu d’UNIFLOW, puis de décocher la case non-négative dans les deux réservoirs, pour la seule et unique raison que le projectile devra non seulement monter, mais aussi redescendre.

Lorsque la bille monte, les forces qu’elle subit sont toutes deux opposées au sens de sa trajectoire. L’accélération sera, dans ce cas, a=(-Ffrott-Fp)/m. Dans tout autre cas, le sens de la force de frottement sera opposé à celui de la force pesante et donc a=(Ffrott-Fp)/m.

Ainsi, on notera dans le flux d’accélération :
a=IF Vitesse>= 0 THEN (-Ffrott-Fp)/m ELSE (Ffrott-Fp)/m

Maintenant que l’on connaît toutes les données qui entreront en jeu lors du lancer, nous pouvons dessiner la carte de modélisation de la bille :

Graphique montrant l’accélération, la vitesse et la position de la bille au cours du temps :

Suivi du tableau indiquant toujours les trois :

La méthode d’intégration utilisée est la méthode d’Euler, avec un pas dt=0.25 et sur un temps de 0 à 5 (Display : From 0 to 5). Une méthode d’intégration plus complexe serait préférable si l’on voulait définir plus précisément la position de la bille à un temps quelconque, comme par exemple le sommet atteint par la bille.

Données dans STELLA :

C’est donc de cette manière que la bille retombera au sol après environ 4.3 secondes.


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