Oscillateur harmonique avec frottements

dimanche 30 mars 2008
par  Bashkim Ahmeti
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On accroche à un ressort une masse m que l’on étire de son point d’origine O. Cet étirement vaut y. La masse va alors osciller jusqu’à ce qu’elle s’arrête après un certain moment à cause des forces de frottement de l’air. A l’aide du logiciel Stella, nous allons pouvoir illustrer cette situation.

Introduction

L’emploi des propriétés de l’oscillateur harmonique est fréquente dans beaucoup de domaines. Lors de la construction d’un véhicule par exemple, il est important de prévoir la réaction de la voiture lorsqu’elle roulera sur une bosse et par conséquent, doter l’automobile d’amortisseurs adéquats qui tiendront compte de plusieurs facteurs dont la masse du véhicule.
Nous nous contenterons, ici, d’étudier le cas d’une masse accrochée à un ressort que l’on éloigne du point d’origine O en tirant dessus et qui subit une force de frottement due à l’air.

Expression mathématique d’un oscillateur

Pour déterminer la formule nous permettant d’obtenir l’oscillation, on se base sur la relation fondamentale de la dynamique :

$\sum\ F \ = ma \Rightarrow a = \frac {\sum\ F} {m} $

Dans le cas d’un oscillateur harmonique simple (sans frottement), il y a une force qui agit sur la masse ; cette force dépend de la raideur du ressort que l’on exprime par la lettre k et de l’écart y par rapport à la position d’équilibre de la masse (point d’origine O). On sait également que cette force est toujours opposée à y et par conséquent, on se doit de rajouter un signe "moins" devant k. Nous sommes à présent en mesure d’établir l’équation d’un oscillateur harmonique :

$ y’’ = \frac {-ky} {m} $

$ y’’ $ est la dérivée seconde de y qui varie au cours du temps lorsque la masse oscille.

Dans le cas présent, on tient également compte d’une force de frottement. Celle-ci est opposée à la vitesse. D’après la relation fondamentale de la dynamique (voir ci-dessus), cela se traduit de la manière suivante :

$ y’’ = \frac {-(ky + F_{frott})} {m} $

Illustration du calcul

A l’aide du logiciel Stella, il est possible d’illustrer cette situation sous forme de carte. En déterminant l’accélération grâce à l’expression algébrique vue plus haut, le programme va nous tracer un graphique de la variation au cours du temps de l’accélération, de la vitesse et de la position par méthode d’intégration. Voici le modèle Stella correspondant à la situation présente :

Les valeurs attribuées aux flux, aux réservoirs ainsi qu’aux facteurs tiers sont bien évidemment arbitraires et ne reflètent aucune situation réelle. Voici maintenant le graphique que l’on obtient :

Description du modèle et du graphique

Avant tout, il faut savoir que ce type de modèle s’adresse aux personnes connaissant un minimum le programme Stella. De ce fait, pour visualiser les valeurs données aux différents flux, réservoirs et facteurs tiers, voici ce que l’on obtient si l’on clique sur la flèche "To Equation Level" du programme :

- v(t) = v(t - dt) + (a) * dt
- INIT v = 0

- INFLOWS :
- a = (-k*y-Ffrott)/m
- y(t) = y(t - dt) + (flux_y) * dt
- INIT y = 0.1

- INFLOWS :
- flux_y = v
- Ffrott = mu*v
- k = 9.87
- m = 1
- mu = 0.1

Ce répertoire nous permet donc de voir l’ensemble des valeurs que l’on a attribuées à notre modèle ainsi que la manière dont les flux, réservoirs et facteurs tiers sont définis.
(note : le coefficient mu est une valeur qui reprend la formule des frottements de l’air, c’est-à-dire $ \frac {1} {2}\ S \ C_{x} \rho$ )

En second lieu, lorsqu’on étudie les oscillateurs harmoniques (avec ou sans frottement), il est indispensable d’effectuer quelques manipulations au niveau du logiciel. Tout d’abord, il faut changer la méthode de calcul qui, par défaut, est celle d’Euler, et la remplacer par une méthode plus performante qui est Rugge-Kutta d’ordre 4. Il est également nécessaire de diminuer le pas d’intégration (DT dans Run-spec). Ainsi, on évite d’obtenir un graphique insensé et imprécis comme on peut le voir ci-dessous :

En effet, cette situation est impossible dans la mesure où l’on observe une augmentation de la vitesse ainsi que de l’accélération et une augmentation de l’amplitude. Or, dans ce modèle, on devrait observer une diminution de ces trois facteurs dus à la force de frottement. Il s’agit donc bien d’une erreur lié au logiciel.

Variante de modèle

Ci-dessus, la force de frottement a été définie par le produit de mu et de v (la vitesse). Il est intéressant maintenant d’observer l’allure du graphique si la force de frottement due à l’air est proportionnelle au carrée de la vitesse. On constate alors une erreur au niveau du signe de la vitesse. En effet, celui-ci reste toujours positif et ceci à cause du fait que l’on a élevé la vitesse au carré. C’est pourquoi nous devons effectuer un TEST sur la vitesse afin de faire comprendre au programme que le signe de la force de frottement doit être – lorsque le ressort "remonte" et que la vitesse est positive, et + lorsqu’il "redescend" et que la vitesse est négative. Au niveau du programme, cela se traduit de la manière suivante :

- IF v >= 0 THEN $ \frac {-ky {{-}} F_{frott}} {m}\ $ ELSE $ \frac {-ky {{+}} F_{frott}} {m}\ $

On obtient alors un graphique sur lequel on observe une plus grande amplitude d’oscillation ainsi qu’une vitesse et une accélération plus importante qu’avec le modèle vu plus haut. Voici l’allure de ce graphique :

(note : contrairement aux graphiques précédents, celui-ci est sur 32 secondes car, sans cela, on ne verrait pas distinctement la diminution de l’amplitude, de la vitesse et de l’accélération)

Conclusion

La première chose que l’on observe, c’est une diminution de l’amplitude d’oscillation, de la vitesse et également de l’accélération. Cela tient du bon sens ; si l’on tire sur une masse accrochée à un ressort, celle-ci va naturellement s’arrêter d’osciller puisqu’elle subit une force de frottement.

Pour finir, je vous invite à visiter ces sites qui expliquent plus en détail tout ce qui est lié aux oscillateurs harmoniques dont, en particulier, l’étude de l’énergie :
- Encyclopédie Wikipédia
- Etude énergétique
- Autre


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