Phénomènes de croissance

Observations et modèles. Notes de cours
mercredi 21 mai 2008
par  Sonia La Bella
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Phénomènes de croissance
Les phénomènes de croissance concernent surtout la matière vivante (on peut touefois en observer quelques-uns dans le monde de la matière inanimée : croissance des glaciers, des stalagmites, des stalactites, des cristaux, etc.)

Nous allons construire quelques modèles qui permettent de simuler des phénomènes de croissance.

Un modèle permet de représenter un phénomène (schéma, dessin, graphique, etc).

Exemple : nous pouvons représenter une population à l’aide d’un réservoir. Pour faire évoluer une population, il faut modifier le contenu du réservoir, ce qui peut se faire en lui connectant des flux (tuyaux avec valve)

Une fois le modèle terminé, c’est-à-dire lorsque toute les valeurs initiales et les relations sont données, nous pouvons l’utiliser pour simuler l’évolution de la population.

Commençons avec un modèle très simple qui ne comporte qu’un réservoir (population), qu’un flux (naissance par unité de temps) et un lien (relation entre le réservoir et le flux)

La chose la plus difficile et délicate lorsqu’on construit un modèle, c’est de ne pas postuler plus de relations que nécessaire et c’est de les formuler de la manière la plus simple possible.

Exercice
Vous observez la croissance d’une population de bactéries et vous estimez périodiquement l’effectif de la population. Vous établissez un graphique et vous obtenez quelque chose qui ressemble à :

À partir de ces données expérimentales, nous allons construire un modèle qui devrait permettre de reproduire cette évolution
De quoi a-t-on besoin ?

1. Nous dessinons la "carte" du modèle (schéma : un réservoir, un flux et un lien)

2. Nous passons ensuite au niveau des définitions (en cliquant sur le bouton qui représente le monde, en haut à gauche de la fenêtre). Il apparaît alors des points d’interrogation dans le réservoir et dans la vanne du flux.

3. Pour faire disparaître ces points d’interrogation, nous devons donner la valeur initiale de la population (nombre d’individus au temps t=0). Ce nombre se lit sur le graphique. Attention, il faut bien observer les échelles. On lit, pour t=0 approximativement 10. Nous plaçons donc 10 comme valeur initiale dans le réservoir. Dans la vanne du flux, ce n’est pas un nombre que nous devons indiquer, mais une relation (cette vanne est en effet liée à la population, ce qui signifie que les naissances dépendent de la population). Nous supposons une relation de proportionnalité entre le nombre de naissance par unité de temps et la population, ce qui peut s’écrire

naissance par unité de temps=constante*Population

Ce qui signifie que les naissances par unité de temps sont proportionnelles à la population.

Première observation :

On observe très fréquemment des croissances très rapides qu’on appelle exponentielles. Dans le mot exponentielle, il y a le mot exposant. Voici un exemple de relations exponentielles

$y=10^x$

Pour la croissance d’une population de N individus, cette relation s’écrirait :

$N=N_0*10^t$

Dans cette expression, N représente le nombre d’individus, $N_0$ le nombre initial (lorsqu’on commence l’observation, au temps t=0) et t le temps qui s’écoule. Pour avoir l’image, vous écrivez

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Croissance exponentielle
Comment définir le débit pour obtenir ce type de croissance ?

Préparation à l’épreuve Champ :
Les phénomène de croissance (description, hypothèses et modèles)

La croissance exponentielle (la variable est à l’exposant et l’exposant est proportionnel au temps). La loi qui décrit cette croissance est donnée par

$N=N_0*e^{constante*t}$

Lorsqu’on connaît la population initiale et la constante qui caractérise la vitesse de la croissance, on peut calculer, avec cette loi l’effectif N à n’importe quel temps t.

On peut gagner du temps et obtenir les résultats en travaillant avec Stella.

La population est représentée par un "Stock", les naissances par unité de temps par un "flux" et la constante par un petit cercle".

Lorsque la croissance est exponentielle cela signifie que les naissances sont proportionnelles à la population.

Pour signifier cette proportionnalité, nous tirons un lien de population (N) vers le flux de naissances, et un autre lien de constante vers les naissances. A l’intérieur du flux, nous complétons l’égalité :

naissance par unité de temps = ............

Attention, il faut seulement écrire le membre de droite, celui de gauche est déjà écrit.

Au total, une fois complétée, l’égalité est :

naissance par unité de temps = constante * N

Interprétation
La constante qui permet de régler la vitesse de la croissance correspond à la natalité (nombre de naissance par individu et par unité de temps).

Le fait que la croissance soit exponentielle découle de la proportion entre la population et le nombre de naissance par unité de temps. Ce nombre de naissance par unitié de temps correspond à la pente du graphique.

Ce modèle tout simple (pas très réaliste) car une croissance de ce type ne peut pas se poursuivre longtemps, lorsque les ressources s’épuisent la croissance finit par ralentir voir diminuer

Cette croissance exponentielle s’observe sur des temps plutôt brefs.

- Autres types de croissances : LA CROISSANCE LIMITEE

On observe presque toujours dans les phénomènes de croissance un début de croissance exponentielle suivi d’un tassement de la croissance qui conduit à un effectif stable au cours du temps.

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Courbe logistique
Comment définir le débit pour obtenir une courbe en S (courbe logistique) ?

Il faut trouver un moyen de limiter la croissance. Lorsque la population est faible on veut quelque chose qui soit de type exponentielle. Lorsqu’elle est importante on veut que les naissances s’annulent.

naissances = constante * population (exponentielle)
naissances = constante * population (population maximum-population)

si on travail en pourcent la population max vaut 1 (1 = 100%)

naissances = constante * population (1 - population) Tâche à effectuer

compléter les tableaux suivants :

Révision du champ de l’épreuve
Nous allons partir d’une observation expérimentale (croissance d’une population de levure) donnée sous forme d’un graphique

A partir de ce graphique, nous allons construire un modèle qui permet de reproduire l’évolution observée. Nous utilisons pour cela Stella. La première tâche à effectuer consiste à identifier les grandeurs du modèle : Il sagit ici d’un réservoir qui représente la population et le nombre de levure et d’un flux qui donne le nombre de "naissances" (divisions cellulaires).

Il nous faut ensuite postuler des relations qui se traduisent par des liens : Nous supposons que les naissances par unité de temps dépendent de la population (lien qui va du réservoir vers le flux). Nous ajoutons un temps caractéristique qui va nous permettre de régler le nombre de naissances par unité de temps dans les simulations.

Remarques
Ce temps carctéristique est le temps après lequel la population a été multipliée par le nombre e environ égal à 2.72
Dernière tâche avant de pouvoir simuler, définir les relations et les valeurs initiales :
nombre de naissances par unité de temps=population de levure/temps caractéristique
Valeur initiale pour la population de levures=100
Nous lisons le temps caractéristique sur le graphique (temps après lequel la population a été multipliée par 2.72) et nous trouvons environ 90 minutes. La simulation peut commencer. Pour allonger le temps de simulation, nous allons dans Run->Run Specs...

Nous allons établir quelques graphiques à partir de vos mesures (boite de Pétri). Nous construirons ensuite un modèle pour obtenir des courbes qui passent au mieux par les points de mesure et nous chercherons des constantes de temps qui caractérisent les différentes croissances observées.


Nous contruisons maintenant un modèle Stella pour simuler la croissance des bactéries.