Qu’est ce qu’une courbe logistique ?

Modélisation sur le logiciel Stella
mercredi 16 janvier 2008
par  Tina Monnet
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Parmi les comportements observables lors de l’étude d’un phénomène dans le temps, il arrive parfois que l’on obtienne une courbe en forme de S, autrement appelée courbe logistique. Nous pouvons observer ce comportement par exemple lors de la modélisation de la croissance d’une population. Cet article a pour but principal de montrer comment obtenir cette courbe avec le logiciel Stella en créant un modèle relativement simple.

Avant de parler de la courbe logistique, il convient de rappeler ce qu’est STELLA et ce que fait ce programme.

- Rappel : Que fait STELLA au juste ?

STELLA est un intégrateur numérique. Cela signifie qu’à partir d’un modèle comprenant un ou des réservoirs à chacun desquels est connecté un flux que l’on peut définir au moyen de paramètres constants, le logiciel va intégrer le flux pour obtenir le contenu du réservoir. Plus concrètement, on peut définir le flux comme une fonction variant au cours du temps et dont l’aire sous sa courbe donne une autre fonction symbolisée par le réservoir.

Pour calculer l’aire sous la courbe, il divise l’aire sous la courbe en un nombre n de rectangles. C’est ce qu’on appelle dans le langage courant l’intégration. La longueur de la base, appelée pas d’intégration, peut être changée, ainsi que la méthode d’intégration.

STELLA peut donc par exemple nous donner la position d’un objet (réservoir) à partir de sa dérivée, la vitesse (flux) ou plus simplement le contenu d’un réservoir qui varie au cours du temps.

- La courbe logistique

La courbe logistique est une courbe ayant un tracé en S, comme ci-dessous :

courbe logistique
(source)

On retrouve souvent ce comportement lors de la modélisation de la croissance d’une population par exemple. Dans ce cas là, le réservoir représente une population (le nombre de personnes en faisant partie) et le flux peut représenter des arrivées ou des naissances.

Cette courbe peut être obtenue avec un modèle simple comprenant juste un réservoir, un flux et un lien, ou avec des modèles plus complexes.

BMP - 186.2 ko
Modèle simple
Modèle simple comprenant un flux, un réservoir et un lien.

- Modèle et résultats

Malgré que nous puissions obtenir une courbe logistique avec un modèle de base, le modèle qui va être utilisé ci-dessous sera un peu plus perfectionné afin de mieux représenter les possibilités que nous offre STELLA.

Pour illustrer ce qu’est une courbe logistique, je suis donc partie d’un modèle comprenant un réservoir, un flux et deux constantes, l’une d’entre elles représentant la capacité maximum de mon réservoir.

- La construction du modèle :

Pour construire le modèle utilisé ci dessus, il faut d’abord, dans STELLA, mettre un réservoir en cliquant sur le rectangle tout en haut à gauche (tous les boutons sont indiqués ci-dessous). Ensuite, nous devons mettre un flux, en faisant attention à ce qu’il soit lié à notre réservoir. Puis, nous devons ajouter deux constantes. Une fois que nous avons tous les éléments, nous devons les lier grâce aux liens. À noter que ces liens ne peuvent en aucun cas aboutir sur un réservoir.

Une fois le modèle obtenu, nous devons introduire des valeurs pour chacun de nos objets. Pour ceci, il faut changer "l’échelle" avec un clic sur le bouton indiqué.
Des points d’interrogation apparaissent alors dans chaque élément. Pour introduire les valeurs, un double-clic sur l’élément désiré permet d’introduire sa valeur.

- valeurs utilisées :

Réservoir = 0.01

capacité maximum = 1

constante = 1

flux = constante*réservoir*(capacité maximum - réservoir)

La méthode d’intégration est Euler et le pas d’intégration est de 0.25 .

- Graphique obtenu :

Avec les valeurs précédemment données, nous obtenons ce comportement pour le contenu de notre réservoir.

Dans l’exemple de la modélisation d’une population, le réservoir est associé aux personnes appartenant à cette population, le flux correspond par exemple aux naissances, la constante est un taux de natalité et la capacité maximum est le nombre maximum d’habitants pouvant être contenus dans la population (ce nombre peut varier en fonction de l’espace, des ressources en eau, en nourriture...). La courbe logistique montre donc bien qu’au début la population augmente d’abord peu, car à ce moment là la population est faible et l’augmentation est proportionnelle à la population. Ensuite, on constate une forte augmentation étant donné que la population est plus nombreuse, donc que plus de gens peuvent se reproduire, par conséquent la population augmente beaucoup et rapidement. L’augmentation de la population diminue avant de se stabiliser totalement lorsqu’elle approche de la capacité du milieu.

À travers cet exemple de la courbe logistique, force est de constater que STELLA nous offre de multiples possibilités de modélisation et que ce logiciel nous offre une vraie aide aux calculs. De plus, le côté visuel permet de mieux comprendre les problèmes donnés, ce qui est un autre point positif du programme.