Qu’est-ce qu’une fréquence d’échantillonnage ?

Rapport de physique
mardi 27 mai 2008
par  Laurent Perrin, Patrizia Mercurio
popularité : 9%

Qu’est-ce qu’une fréquence d’échantillonnage ?


Table des matières

1. Introduction

2. La fréquence d’échantillonnage

3. Quelques applications pratiques

4. Conclusion

5. Bibliographie


1. Introduction

Nous sommes aujourd’hui dans un monde numérique, où les ordinateurs occupent une place essentielle. Tout notre mode de vie a changé, nos habitudes et notre comportement. Les techniques ont évolué ainsi que les supports.

Le sujet que nous allons aborder est indispensable pour l’enregistrement de la musique sur les nouveaux supports (cartes mémoires, disques durs). Ce processus ne peut s’effectuer que grâce aux ordinateurs qui sont devenus depuis une quinzaine d’années, les rois de l’enregistrement. Nous allons donc nous intéresser au domaine de la musique, en parlant d’une des parties les plus importantes dans le processus de numérisation d’un son (enregistrement numérique) : la fréquence d’échantillonnage.

Nous allons expliquer comment ça fonctionne et illustrer le tout à l’aide de schémas.

2. La fréquence d’échantillonnage

2.1 Définition

L’échantillonnage est un processus qui se produit lors de la numérisation et qui consiste à la transformation d’un signal analogique en un signal numérique, en une séquence de nombres binaires, à savoir des 0 et des 1, (pour plus d’explications concernant le code binaire cliquez ici). Autrement dit, un convertisseur A/N ou CAN transforme le signal électrique qui est un signal continu, en petites successions d’événements qui s’enchaînent à intervalles de temps réguliers. La fréquence d’échantillonnage est l’intervalle de temps entre deux échantillons. Elle est exprimée en Herz [Hz] :

1 Herz=$\frac{1}{s}$= $s^{-1}$

C’est une étape nécessaire pour pouvoir enregistrer, analyser et traiter un signal par ordinateur, car celui-ci ne peut traiter que des nombres. [1]

2.2 Processus

Voici les étapes menant à la transformation d’un son analogique en un son numérique.

  1. Le son analogique est émit.
  2. Le convertisseur sélectionne les échantillons de son (différence de pression) à intervalles réguliers, il segmente le signal analogique qui est continu.
  3. Le convertisseur code les échantillons prélevés en langage binaire.
  4. On obtient une onde numérique. Le signal est discontinu et le convertisseur le rend continu.
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Etapes de la convertion analogique-numérique
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Note : Plus le son est aigu et plus la fréquence d’échantillonnage doit être élevée. Au contraire, plus le son est grave et plus elle doit être faible.

Si la fréquence varie beaucoup, on échantillonne la courbe par parties. On prend par exemple, une partie avec des courbes de fortes amplitudes et une autre avec des courbes de faibles amplitudes. Par conséquent, la qualité obtenue sera relativement bonne et elle occupera moins de place sur un disque dur.

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Exemple d’échantillonnage de deux signaux
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2.3 Nyquist et Shannon

2.3.1 Harry Nyquist

Harry Nyquist (7 février 1889 - 4 avril 1976)

Ce docteur en physique d’origine suédoise, a notamment découvert en 1927 « qu’un signal analogique doit être échantillonné à au moins deux fois la plus haute fréquence le constituant si l’on veut le convertir en un signal numérique correspondant. Ce résultat, connu sous le nom de théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon, a été publié dans l’article Certain topics in Telegraph Transmission Theory (1928) » [2]

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Harry Nyquist
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2.3.2 Claude Shannon

Claude Elwood Shannon (30 avril 1916 - 24 février 2001)

Cet ingénieur, électricien et mathématicien américain, dont ses goûts pour les inventions lui sont venus de son grand père (qui a inventé la machine à laver et beaucoup d’autres objets, comme les machines agricoles), a notamment travaillé chez Bell Téléphone dans les années 40 afin de chercher la manière la plus efficace de transmettre des informations.

Il a entre autres, démontré qu’un échantillonnage à la fréquence Fe restitue fidèlement les fréquences comprises entre $\frac{-Fe}{2}$ et $\frac{Fe}{2}$ [3].

C’est également lui qui a popularisé la notion de bit.

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Claude Elwood Shannon
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2.3.3 Théorème de Nyquist et Shannon

« Afin de garantir la restitution fidèle du signal, le théorème de l’échantillonnage stipule que la fréquence d’échantillonnage doit être supérieure au double de la fréquence maximale à reproduire. » [4]

(Pour de plus amples informations sur le théorème de Nyquist et Shannon cliquez ici)

Ce théorème permet de minimiser les problèmes liés à l’échantillonnage. En effet, seule l’information présente sur le point de capture est enregistrée et tout le reste est perdu. Il permet donc une bonne restitution du son de départ tout en limitant le poids du fichier audio numérisé enregistré sur un disque dur.

2.3.3.1 Exemples

- En appliquant le théorème de Nyquist et Shannon :

Si la fréquence de notre son analogique est de 5,5 (Hz), nous devons au moins l’échantillonner à la fréquence de 11 (Hz) comme ci-dessous.

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Bon échantillonnage
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- L’échantillonnage à la limite :

L’échantillonneur ne prend pas assez d’échantillons (sous-échantillonnage). En effet, l’échantillonnage est à 3 (Hz) alors que le son est aigu (forte différence d’amplitude et sommets rapprochés). Il faudrait donc, avoir une fréquence d’échantillonnage élevée. Le convertisseur relie les quelques points entre eux. Le résultat n’est pas fidèle au son originel.

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Mauvais échantillonnage
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Voici deux démonstrations qui montrent l’importance d’avoir un bon échantillonnage :

Légende de la démonstration :

En utilisant une simple vague cosinus à titre d’exemple, cette démonstration montre comment le nombre de points de données et l’interpolation peuvent affecter la fonction d’interpolation résultant. La ligne bleue représente le tracé de la fonction d’interpolation, la ligne rouge représente la différence numérique entre les valeurs de fonction d’interpolation et les vraies valeurs de la sinusoïde, et les points noirs sont les points utilisés dans l’interpolation. Le taux d’échantillonnage correspond au nombre de points d’échantillonnage par oscillation. [5]

Légende de la démonstration :

Appuyez sur le bouton pour entendre une sinusoïde ton, à l’échantillonnage au taux précisé. Des distorsions importantes se produisent lorsque la fréquence d’échantillonnage est inférieure à deux fois la fréquence de la sonnerie [6](théorème de Nyquist et Shannon).

3. Quelques applications pratiques

- La fréquence d’un compact disque (CD) est de 44 100 Hz. Cela signifie que l’on échantillonne une fréquence analogique de 22 050 Hz (valeur légèrement supérieure à ce que peut entendre l’oreille humaine).

- 22 000 Hz est la fréquence d’échantillonnage pour qu’un son passe à la radio.

- 8 000 Hz est la fréquence d’échantillonnage requise pour le téléphone.

4. Conclusion

L’analogie n’est plus tellement utilisée de nos jours ; les cassettes audio ont été remplacées par des fichiers tels que les mp3 ou WAV, qui font partis de la nouvelle vague numérique.

Nous avons vu que la fréquence d’échantillonnage est une étape importante dans le processus de numérisation d’un signal analogique. Elle est toujours suivie d’une seconde étape qui est la quantification. Lors de l’échantillonnage, le son n’est pas restitué fidèlement si certaines règles ne sont pas respectées. C’est ainsi que par exemple, Nyquist et Shannon ont évoqué un théorème qui permet de reconstituer fidèlement un signal tout en minimisant l’espace qu’occupera le fichier final sur un disque dur ou sur une carte mémoire.

5. Bibliographie

http://can-cna.audiofanzine.com/app...

http://www.commentcamarche.net/audi...

http://www.ecole-art-aix.fr/article...

http://demonstrations.wolfram.com

http://demonstrations.wolfram.com/S...

http://www.iict.ch/Tcom/Laboratoire...

http://www.nyu.edu/pages/linguistic...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nyquist

http://www.zemage.org/a-Le+binaire+...

MEYLAN, Eric, Le son analogique et numérique (Cours de musique de cette année), 2008.

Notes de cours personnelles.

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