Tir vertical d’un ballon avec frottements

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mardi 25 décembre 2007
par  Baptiste Ulrich
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Pour ce travail, le sujet choisi est le 15 : le tir vertical



Description


Un ballon est lancé verticalement vers le haut. Il est soumis à trois forces : son poids dirigé vers le bas, la poussée d’Archimède dirigée vers le haut et une force de frottement due à l’air opposée au sens de déplacement.
On suppose que le ballon est lancé depuis le sol. Dans le cas contraire, il faudrait autoriser les valeurs négatives dans le réservoir de la position.



Modèle STELLA

Il faut d’abord construire un modèle de base comportant la position (y, car le ballon est lancé à la verticale), la vitesse et l’accélération.
Dans la position et la vitesse, il faut mettre respectivement la position initiale et la vitesse initiale (dans le flux vitesse, il suffit de reprendre la vitesse).
L’accélération, quant à elle, va varier en fonction des forces qui agissent sur l’objet, donc il faut pour le moment la laisser vide.

BMP - 174 ko
modèle de base
c’est le modèle de base avec la position (ici y), la vitesse et l’accélération

Ensuite, il faut prendre en compte les différentes forces agissant sur l’objet :

  1. le poids de l’objet
  2. la force d’Archimède
  3. la force de frottement

1. Le poids de l’objet

Le poids (Fp) d’un objet est défini en fonction de sa masse (m) et de la gravité (ici celle de la terre, donc g).
On a donc la formule suivante :
$Fp=m*g$

Sur Stella, nous obtenons ce modèle :

BMP - 46.1 ko
poids
poids d’un objet de masse m sur la terre

Le poids d’un objet est toujours dirigé vers le bas (vers la terre).


2. la force d’Archimède

La force d’Archimède (Fa) est la force que subbit un corps plongé en tout ou en partie dans un fluide (ici l’air) soumis à un champ de gravité.
Elle est donc définie en fonction de la masse volumique du fluide (ici rho air), du volume de l’objet (volume) et de la gravité (g). Le volume de l’objet est défini en fonction de son rayon (r) : $volume=4/3 *PI*r^3$
On obtient donc la formule suivante :
$Fa=rho air*volume*g$

Sur Stella, ça nous donne ce modèle :

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force d’Archimède
force d’Archimède subbie par un objet de masse m dans l’air, subbiassant l’accélération gravitationnelle de la terre.

La force d’Archimède est toujours opposée au poids, et donc dirigée vers le haut.


3. la force de frottement

La force de frottement (Ffrott) est la force subbie par un corps dans un fluide, lorsqu’il est en mouvement.
Cette force est définie en fonction de la surface apparente de l’objet (S), la masse volumique du fluide (ici rho air), du coefficient de forme du ballon (Cx) et de la vitesse (V). La surface apparente de l’objet est définie par son rayon (r) : $S=PI*r^2$

Voici donc son équation : $Ffrott=0.5*rho air*S*Cx*V^2$

Sur STELLA, on obtient ce modèle :

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force de frottement
force de frottement subbie par un objet en mouvement dans l’air

La force de frottement est toujours opposée au déplacement.


Il nous faut alors assembler le modèle de base avec les trois modèles des différentes forces. On obtient ceci :

BMP - 374 ko
modèle complet
modèle complet du tir vertical d’un objet avec frottements

Les trois forces sont donc reliées à l’accélération et la définissent avec la masse. L’accélération est égale à la force résultante divisée par la masse.
La force résultante est la somme des trois forces agissant sur l’objet. Mais attention, la force de frottement étant toujours opposée au déplacement, son signe va changer selon si la vitesse est positive ou négative.
L’équation de l’accélération est donc la suivante :
a= IF v>=0 THEN (-Ffrott-Fp+Fa)/m ELSE (Ffrott-Fp+Fa)/m



Maintenant que nous avons le modèle, il nous faut entrer les données de base et après seulement nous pourons le lancer. Les données initiales du modèle sont les suivantes :

position initiale 0 m
vitesse initiale 20 m/s
masse 0.2 kg
rayon 0.15 m
rho de l’air 1.29 kg/$m^3$
coefficient de forme 0.24
gravité 9.81 m/$s^2$

On obtient alors les horaires suivants pour la position, la vitesse et l’accélération :

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horaires
horaires de la position, de la vitesse et de l’accélération, lors d’un tir vertical d’un ballon, en fonction du temps

On cherche alors le temps qu’il faut au ballon pour atteindre le sommet, ainsi que le temps qu’il lui faut pour redescendre.
On crée alors un tableau avec la position, la vitesse et l’accélération (ces deux derniers pourront nous permettre de verifier si l’objet est bien au point demandé).


Temps pour atteindre le sommet

Voici la table au moment où le ballon arrive au sommet :

BMP - 288.1 ko
table de la positon
table de la position du ballon en fonction du temps lorsqu’il attient le sommet de sa trajectoire

On remarque que le ballon atteint le point le plus haut après 1.4350 secondes (on regarde lorsque la vitesse est nulle, car c’est plus précis). A ce moment-là, le ballon est à 11.33m du sol.


Temps pour redescendre

Voici la table au moment où le ballon retombe sur le sol :

BMP - 286.9 ko
table de la position_bis
table de la position du ballon en fonction du temps lorsqu’il retombe sur le sol

On remarque que le ballon retombe sur le sol après 3.1985 secondes. Pour redescendre, le ballon a alors pris 3.1985-1.4350 secondes, c’est à dire 1.7635 secondes.


Le ballon a donc mis plus de temps pour redescendre que pour monter.


Récapitulatif des valeurs dans STELLA :

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Récapitulatif
petit récapitulatif des valeurs dans STELLA pour le tir vertical d’un objet.

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