Chute Verticale d’une Bille

Mesure des temps de chute en fonction de la hauteur
mercredi 10 décembre 2008
par  André Gruaz, Cyril Alispach
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But

Déterminer et calculer l’accélération terrestre en mesurant les temps de chute d’une bille en fonction de sa hauteur.

Explication et Théorie

En effet, la mesure du temps de parcours d’une bille pour différentes hauteurs de chute permet de déterminer son accélération. Pour une bille en acier et des hauteurs de l’ordre du mètre, on peut négliger la force de frottement due à l’air et l’accélération obtenue correspond à l’accélération terrestre.

Au voisinage de la surface terrestre, tous les corps qu’on laisse tomber et pour lesquels on peut négliger la force de frottement due à l’air, s’accompagnent dans leur chute : ils subissent la même accélération qui vaut environ $10 m/s^2$. Cela signifie que leur vitesse augmente chaque seconde de $10 m/s$. Ainsi, la vitesse d’un objet qui chute et dont la vitesse initiale est nulle vaut, après $1$ seconde, $10 m/s$, après $2$ secondes, $20 m/s$, etc. Si l’objet est lancé verticalement vers le bas avec une vitesse initiale $V_0$, sa vitesse $V$ après $t$ secondes de chute vaut $V=V_0+at$. Si l’objet est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $V_0$, il subit toujours la même accélération, mais cette fois la vitesse et l’accélération sont de sens opposés. La vitesse de l’objet diminue et après $t$ secondes elle vaut $V=V_0-at$.

Accélération d'une bille

Accélération d’une bille : mouvements descendant et ascendant. Dans les deux cas, le vecteur accélération est le même.

Pour ces mouvements verticaux qui sont des mouvements uniformément accélérés (i.e des mouvements pour lesquels l’accélération est constante), nous obtenons des droites si nous reportons la vitesse en fonction du temps. La pente de ces droites donne l’accélération.

Horaire de la vitesse

Horaire de la vitesse : la vitesse en fonction du temps pour des mouvements uniformément accélérés est donnée par une droite. La pente de la droite donne l’accélération du mouvement.

A partir d’un graphique donnant la vitesse d’un mobile en fonction du temps, il est possible d’obtenir la distance parcourue. Le cas le plus simple est celui dans lequel la vitesse est constante. Nous savons que la distance parcourue s’obtient en multipliant la vitesse $V$ par le temps $t$. Graphiquement, cela revient à calculer la surface comprise entre la droite $V=V(t)$ et l’axe $t$. Pour les mouvements uniformément accélérés ci-dessus, nous obtenons, si nous exprimons les aires des triangles, $d=\frac{Vt}{2}$, qui est la distance parcourue en un temps $t$. La vitesse $V$ du mobile est plus difficile à mesurer que le temps de chute $t$. Nous exprimons donc la vitesse en fonction du temps $V=at$, ce qui donne, pour la distance parcourue $d= \frac{at^2}{2}$.

L'horaire de la vitesse permet de trouver la distance parcourue

L’horaire de la vitesse permet de trouver la distance parcourue qui est donnée par l’aire en grisé.

Méthode

Nous avons mesuré le temps de chute de la bille pour 6 hauteurs différentes. Nous avons répété 4 fois la mesure pour chaque hauteur et calculé le temps de chute moyen, puis nous avons reporté ces mesures dans un tableau.

Expérience

- 1. Tableau des résultats :

Hauteurs de chutes (m)t1(s)t2(s)t3(s)t4(s)tm(s)
0.3 0.2519 0.2514 0.2505 0.2507 0.2511
0.4 0.2897 0.2897 0.2904 0.288.8 0.2897
0.5 0.323 0.3234 0.322 0.3219 0.3226
0.6 0.3528 0.3558 0.3544 0.3535 0.3541
0.7 0.3802 0.3814 0.3813 0.3854 0.3821
0.8 0.4104 0.4066 0.4104 0.4082 0.4089

Le temps de chute moyen $t_m$ est obtenu en faisant la somme des temps divisés par 4 :
$t_m=\frac{t_1+t_2+t_3+t_4}{4}$

- 2. Reportons les hauteurs de chute en fonction des temps de chute moyens élevés au carré dans un graphique à l’aide de Mathematica :

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Chute verticale d’une Bille

- 3. Déterminons, à partir du graphique obtenu, l’accélération de ces mouvements. Pour calculer l’accélération $a$ nous devons d’abord calculer la pente du graphique grâce à la fonction Fit de Mathematica.

$pente=\frac{h}{t^2}=4.79m/s^2$

puis nous utilisons :

$a=2\frac{h}{t^2}=2*pente = 2*4.78714 =9.58m/s^2$

Soit un écart relatif de :

$100-\frac{a}{g}*100=$$100-\frac{9.58}{9.81}*100=2.3$%

- 4. Calculons la vitesse finale de la bille pour chaque hauteur de chute que nous reportons ensuite dans un tableaux en utilisant la formule :
$V_f_i_n_a_l_e=at_m$

Hauteurs de chutes (m)tm(s)Vfinale(m/s)
0.3 0.2511 2.41
0.4 0.2897 2.78
0.5 0.3226 3.1
0.6 0.3541 3.39
0.7 0.3821 3.66
0.8 0.4089 3.92

- 5. Nous constatons que plus la hauteur de chute $h$ est grande plus le temps moyen $t_m$ et la vitesse finale $V_f_i_n_a_l_e$ sont grands.

Questions et Analyses

- Ecrivons l’équation horaire de la bille :
$\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{V_0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2$
qui se simplifie :$y=\frac{1}{2}g^2$

car $y_0=0m$ $V_0_y=0m/s$
et que le mouvement de la bille est dans une dimension ( axe $y$).

- Donnons les formules de la chute des corps permettant d’obtenir :

  • la vitesse en fonction du temps et de l’accélération :
    $V=at$
  • la vitesse en fonction du chemin parcouru et de l’accélération :
    $d= \frac{at^2}{2}$ => $t=\sqrt{\frac{2h}{a}}$
    $V=at$ => $V=\sqrt{2ha}$

- Nous lançons une balle verticalement vers le haut. Dessinons le vecteur caractérisant l’accélération de la balle lorsque :

  • elle s’élève ;
  • elle a atteint le point le plus haut ;
  • elle redescend.

Le vecteur caractérisant l’accélération de la balle est toujours dirigé vers le bas et est de même grandeur quel que soit l’endroit de la trajectoire où la bille se trouve.

- Pour un parachutiste, la force de frottement due à l’air n’est pas négligeable. Sa vitesse finit par se stabiliser, même si le parachute reste fermé. Le graphique ci-dessous donne l’évolution de la vitesse d’un parachutiste (en $m/s$) en fonction du temps (en $s$). Estimons, à partir de ce graphique :

  • l’accélération initiale du parachutiste :
    • L’accélération initiale $a_i_n_i_t_i_a_l_e$ est égale à l’accélération terrestre c’est à dire $9.81 m/s^2$
  • la distance franchie par le parachutiste en 20 secondes :
    • La distance franchie par le parachutiste en 20 secondes correspond à l’aire sous la courbe notre estimation nous révèle une distance de 1142.5 m
  • Comparons cette distance à celle qu’il aurait franchie sans frottement :
    • Pour obtenir la distance que le parachutiste aurait franchie sans frottement nous utilisons la formule :

$d=\frac{gt^2}{2}=\frac{9.81*20^2}{2}=1962 m$

    • Nous observons un écart relatif de :
$100-\frac{1142.5}{1962}*100=41.3$%

Vitesse d'un parachutiste en fonction du temps

Vitesse d’un parachutiste en fonction du temps : lorsque le mobile est soumis au frottement de l’air, sa vitesse n’augmente plus linéairement avec le temps : elle tend vers une vitesse limite (asymptote horizontale).

Conclusion

A l’aide des mesures et des résultats trouvés et calculés lors de notre expérience, nous avons trouvé une valeur de l’accélération terreste proche de la valeur que nous pouvons trouver dans les tables CRM. Ce qui montre que nous avons fait peu d’erreur de manipulation. En effet, nous avons calculé 9.58 $m/s^2$ alors que nous trouvons 9.81 $m/s^2$ dans les tables CRM, ce qui correspond a un écart relatif de 2.3%.



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