Détermination d’un moment d’inertie Rapport du 2 Mars 2009

, par  Alessia Bouchet, Stephan Duong , popularité : 1%

BUT :

- Déterminer expérimentalement le moment d’inertie d’un cylindre.
- Comparer la valeur expérimentale à la valeur théorique. Les mesures doivent nous permettre d’obtenir la grandeur a de l’accélération des cylindres à partir de laquelle nous déterminerons leurs moments d’inertie.

METHODES :

- A l’aide d’un montage contenant un plan incliné et deux cylindres, nous avons :

  • pris les dimensions des deux cylindres pour calculer la masse volumique.
  • mesuré la distance entre les deux cellules photoélectriques, l’inclinaison du plan puis le temps moyen de roulement.
  • calculé les accélérations des cylindres pour les différents angles
  • calculé les moments d’inertie des cylindres.

MANIPULATIONS ET MESURES :

- Nous avons pesé les deux cylindres et mesuré leurs dimensions. Nous obtenons les mesures suivantes :

-Cylindre en aluminium pleinCylindre en laiton évidéIncertitude
Masse en kg 1.0612 1.0619 ±0.0001
Rayon extérieur en m 0.025 0.025 ±0.001
Rayon intérieur en m - 0.0205 ±0.001
Longueur en m 0.20 0.20 ±0.001

- Ensuite nous avons mesuré l’inclinaison du plan et la distance séparant les deux cellules photoélectriques, se trouvant sur le plan, qui permettaient de mesurer le temps que le cylindre prend pour passer d’une cellule photoélectrique à l’autre. Nous obtenons une distance de 0.25 m ± 0.001m.

- Nous avons relevé le temps que met chaque cylindre pour franchir la distance entre les deux cellules photoélectriques pour différentes inclinaisons.
Nous obtenons les résultats suivants :

  • Cylindre en aluminium plein
    (Temps en s)
InclinaisonTemps 1Temps 2Temps 3Temps moyen
1.4262 1.4338 1.4330 1.4310
2,5° 1.2592 1.2721 1.2523 1.2612
1.1684 1.2181 1.2187 1.2017
3,5° 1.1179 1.1150 1.1094 1.1141
1.0236 1.0320 1.0435 1.0330

Incertitude = ± 0.0001 s

  • Cylindre en laiton évidé
    (Temps en s)
InclinaisonTemps 1Temps 2Temps 3Temps moyen
1.6282 1.6175 1.6256 1.6237
2,5° 1.4325 1.4373 1.4372 1.4357
1.3310 1.3118 1.3146 1.3191
3,5° 1.2439 1.2414 1.2403 1.2419
1.1737 1.1847 1.1602 1.1729

Incertitude = ± 0.0001 s

CALCULS ET GRAPHIQUES :

Masse Volumique

- Nous avons ensuite calculé le volume des différents cylindres pour trouver leurs masses volumiques. Grâce aux formules :
V_{cyl.plein}=\pi r^2h
V_{cyl.évidé}=V_{ext}-V_{int}
\rho=\frac{m}{V}

- Nous obtenons ces résultats ci-dessous :

xCylindre en aluminium pleinCylindre en laiton évidé
Volume en 0.0003927 0.000128648
Masse volumique en kg/m³ 2702.3 8254.3

- Calcul d’incertitude :

  • Cylindre en aluminium :

\frac{\rho_{max}-\rho_{min}}{2}
=\frac{2947.22-2485.79}{2}
= ± 230,715 kg/m^3

  • Cylindre en laiton :

\frac{\rho_{max}-\rho_{min}}{2}
=\frac{8678.00-7866.67}{2}
= ± 405.665 kg/m^3

- Remarques : On peut constater que nos incertitudes sont assez grandes mais cela est probablement dû aux outils de mesures (surtout la règle) qui ne possédaient pas une grande précision.
On peut aussi constater que nos masses volumiques \rho sont plus ou moins proches des valeurs données par la Table CRM qui est de 2700 kg/m³ pour l’aluminium et entre 7300-8800 kg/m³ pour le laiton.

Temps et Accélérations

- Après avoir relevé 3 temps de passage pour 5 inclinaisons différentes, nous calculons le temps moyen pour chaque inclinaison.

- Puis nous calculons les accélérations avec la formule :

x=\frac{1}{2}at^2
a=\frac{2x}{t^2}
d’où x correspond à la longeur entre les deux photoélectriques et t à notre Temps moyen.

- Pour le calcul d’incertitude nous utilisons :

a_{min}= \frac{2x_{min}}{t^2}
a_{max}=\frac{2x_{max}}{t^2}
puis : \frac{a_{max}-a_{min}}{2}

- Voici les résultats que nous obtenons :

  • Cylindre en aluminium plein
inclinaison Temps en s Accélération en m/s² Incertitude
1.4310 0.1953 ±0.000977
2.5° 1.2612 0.2515 ±0.001257
1.2017 0.2770 ±0.001385
3.5 1.1141 0.3223 ±0.001611
1.0330 0.3749 ±0.001874
  • Cylindre en laiton évidé
inclinaison Temps en s Accélération en m/s² Incertitude
1.6237 0.1517 ±0.000759
2.5° 1.4357 0.1941 ±0.000970
1.3191 0.2299 ±0.001149
3.5 1.2419 0.2594 ±0.001297
1.1729 0.2908 ±0.001454

Graphiques

- Nous avons ensuite reporter graphiquement l’accélération en fonction du sinus de l’angle d’inclinaison. Nous obtenons les graphiques suivants :

  • Le cylindre en aluminium
    Graphique du cylindre en alu

Pente : 5.36 m/s²

  • Le cylindre en laiton évidé
    Graphique du cylindre en laiton

Pente : 4.15 m/s²

Moments d’Inertie

- Nous avons calculé ensuite le moment d’inertie des cylindres et l’incertitude à l’aide des pentes des droites obtenues sachant que a est égale à la pente.
Nous utiliserons les formules suivantes

I=\frac {mr^2(g-a)}{a}
Et pour l’incertitude :
I=\frac{I_{max}-I_{min}}{2}}

  • Pour le cylindre en aluminium :

I=\frac {1.0612*0.025^2*(9.81-5.36)}{5.36}

=5.51*10^{-4} kg*m^2

±0.000044 kg*m^2

  • Pour le cylindre en laiton :

I=\frac {1.0619*0.025^2*(9.81-4.15)}{4.15}

- =9.05*10^{-4} kg*m^2

±0.000072329 kg*m^2

Théorie

- En théorie, nous utilisons la formule I=\frac {1}{2}mr^2 pour trouver le moment d’inertie d’un cylindre en aluminium.

Nous obtenons pour le cylindre en aluminium :

I=\frac {1}{2}*1.0612*0.025^2=3.31625*10^{-4} kg*m^2

- En théorie, nous utilisons la formule I=mr^2 pour trouver le moment d’inertie d’un cylindre évidé en laiton.

Nous obtenons pour le cylindre en laiton évidé :

I=1.0619*0.025^2=6.63688*10^{-4} kg*m^2

Les moments d’inertie que nous avons optenus expérimentalement sont supérieurs à ceux obtenus par la théorie d’après la Table CRM

CONCLUSION :

- A l’aide de cette expérience, nous avons pu déterminer expérimentalement le moment d’inertie d’un cylindre en utilisant l’accélération des deux cylindres.
- De plus, nous remarquons que la masse volumique trouvée à l’aide de notre expérience est proche de la valeur donnée dans la théorie.
- Bien évidemment il reste quand même une certaine marche d’erreur car on remarque que certaine de nos incertitudes sont élevés, mais cela est dû aux instruments de mesure utilisés qui ne possédaient pas une grande précision, notamment la règle avec ± 0.001m