Énergie du mouvement harmonique

Énergie cinétique et énergie potentielle élastique
dimanche 19 avril 2009
par  Adel Ben Snoussi, Bryan Reck, Jonathan Addo
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Énergie du mouvement harmonique

But :

- Examiner les énergies mises en jeu dans un mouvement harmonique.

- Illustrer le principe de conservation de l’énergie.

Théorie :

Nous pouvons décrire une masse oscillante en termes de position, de vitesse et d’accélération en fonction du temps. Nous pouvons aussi décrire le système du point de vue de l’énergie. Dans cette expérience, vous mesurerez la position et la vitesse d’une masse accrochée à un ressort en fonction du temps, et à partir de ces données, vous établirez les graphiques de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle du système.

Dans le système formé par la masse et le ressort, l’énergie est présente sous trois formes. La masse m, de vitesse v, peut avoir une énergie cinétique :

$E_{cin}=\frac{mv^{2}}{2}$

Le ressort peut posséder de l’énergie potentielle élastique donnée par :

$E_{élastique}=\frac{1}{2}ky^{2}$

k est la constante du ressort et y est l’extension ou la compression du ressort mesurée à partir de la position d’équilibre.

Le système formé par la masse et le ressort possède aussi de l’énergie potentielle de gravitation, mais nous n’avons pas besoin d’inclure ce terme si nous mesurons la longueur du ressort à partir de sa position d’équilibre. Nous pouvons donc nous concentrer sur l’échange d’énergie entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle élastique.

Si le système ne subit pas d’autres forces, alors le principe de conservation de l’énergie nous dit que la somme $\Delta E_{cin}+ \Delta E_{élastique}=0$ , ce que nous pouvons tester expérimentalement.

Énergie du mhs :

Questions préalables :

- Faites sur un papier une esquisse de l’allure du graphique de la hauteur de la masse en fonction du temps lorsque celle-ci effectue un cycle d’oscillation. Indiquez sur le graphique à quels instants la masse se déplace le plus vite et donc possède la plus grande énergie cinétique. Marquez aussi les instants où elle bouge le plus lentement et a le moins d’énergie cinétique.

- Sur votre esquisse, indiquez les instants où le ressort a l’énergie élastique la plus grande, puis les instants où le ressort a l’énergie élastique la plus petite.

- Faites l’esquisse du diagramme de la vitesse à partir du premier graphique.

- Faites l’esquisse des graphiques de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle en fonction du temps.

Réponses :

- Question 1 et 3 : (à l’aide du fichier Exp 17a)

Sur le graphique d’en dessous (trait bleu), la masse se déplace le plus rapidement lorsqu’elle coupe l’axe, c’est là qu’elle a la plus grande énergie cinétique. Et sa vitesse et la plus basse, ainsi que l’énergie la plus basse, au bout des bosses.

- Question 2 : (même graphique)

L’énergie élastique est la plus grande au bout des bosses, et la plus petite lorsque que le graphique de la masse coupe l’axe. Elle évolue d’une façon inversément proportionnelle à l’énergie cinétique. C’est pour que l’énergie mécanique reste constante.

- Question 4 :

La droite de l’énergie mécanique n’est pas totalement droite, mais presque. On peut donc dire que l’énergie mécanique est conservée.

Procédure :

- Pour la fichier Exp 17a :

Nous pouvons voir l’évolution de la position de la masse grâce à laquelle, on va pouvoir déduire quand la vitesse est maximale et nulle. Ainsi que pour l’énergie cinétique et élastique.

- Pour le fichier Exp 17b :

Nous avons pu déterminer la constante k du ressort grâce à la pente de la droite.

- Pour le fichier Exp 17c :

Nous avons pu observer que lorsque l’énergie cinétique est maximale, l’énergie élastique est nulle et vis-versa. Ce qui permet de maintenir une énergie mécanique constante.

Extension :

- Dans l’introduction, nous avons affirmé que l’énergie potentielle de gravitation pouvait être ignorée si le déplacement utilisé dans le calcul de l’énergie potentielle élastique était mesuré à partir de la position d’équilibre. Écrivez d’abord l’énergie mécanique totale (cinétique, potentielle de gravitation et potentielle élastique) dans un référentiel orienté vers le haut où la position y, a son origine au bas du ressort au repos et sans masse (sans force). Puis déterminez la position d’équilibre s quand une masse m est suspendu au ressort. Ce sera l’origine d’un nouveau référentiel avec la position h. Écrivez une nouvelle expression pour l’énergie totale en fonction de h. Montrez que lorsque l’énergie est écrite en fonction de h plutôt que de y, l’énergie potentielle de gravitation s’annule.

Énergie mécanique :

$E_{méc}=E_{pot_{gravit}}+E_{pot_{élastique}}+E_{cin}$
$E_{mec}=mgy+\frac{1}{2}ky^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}$

Position d’équilibre de la masse :

$F=ma$ ou $F=mg$
et $F=-k\Delta h$ donc $mg=-k\Delta h\Rightarrow \Delta h=-\frac{mg}{k}$

Conclusion :

Grâce à cette expérience, nous avons pu voir à quel moment la vitesse est maximale et minimale, à quel moment l’énergie cinétique est la plus grande et la plus petite, à quel moment l’énergie élastique est la plus grande ou la plus petite, et donc démontrer que l’énergie mécanique est conservée.


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