Energie du mouvement harmonique

Rapport du 30.03.09
dimanche 19 avril 2009
par  Simon Callegari
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Energie du mouvement harmonique

But :

- Étudier les énergies mises en jeu dans un mouvement harmonique.
- Illustrer et vérifier le principe de conservation de l’énergie mécanique.

Manipulations :

Nous utilisons le logiciel Logger Pro et un détecteur de mouvement afin d’étudier les oscillations d’un ressort plus ou moins lesté.

Pour augmenter la force de frottement de l’air sur la masse, nous y accrochons un disque en plastique à l’horizontale.

L’énergie cinétique est donnée par la formule $E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2$ et l’énergie potentielle élastique par $E_{pot}=\frac{1}{2}ky^2$.
L’énergie mécanique est donnée par $E_{mec}=E_{cin}+E_{pot}$

Mesures et réponses aux questions :

- À l’aide du fichier Exp 17a du dossier Physics with Computers, nous obtenons deux graphiques : celui de la position de la masse oscillante de 0.200kg en fonction du temps et celui de sa vitesse en fonction du temps.

Conformément à nos prévisions, nous pouvons observer que la vitesse de la masse est maximale (en valeur absolue) quand celle-ci passe par la position d’équilibre du système, et nulle quand elle se trouve à son éloignement maximal de sa position d’équilibre.

- À l’aide du fichier Exp 17b du dossier Physics with Computers, en faisant varier la masse suspendue au ressort de 0.05kg à 0.300kg par pas de 0.05kg, et en utilisant la proportionnalité de la force de rappel à l’écart, nous obtenons une droite dont la pente et la constante k du ressort, soit $k=15.98 \frac{N}{m}$.

- À l’aide du fichier Exp 17c du dossier Physics with Computers, nous pouvons obtenir les énergies cinétique et potentielle de la masse oscillante. Pour cela, nous modifions les équations des colonnes des énergies en insérant nos valeurs de $k=15.98 \frac{N}{m}$ et de $ m=0.200kg $ .
De plus, nous mettons à zéro le détecteur de mouvement, ce qui nous permet de mesurer les positions de la masse oscillante relativement à sa position d’équilibre.

Nous observons comme prévu que l’énergie cinétique (en orange) est maximale quand la masse passe par la position d’équilibre, et nulle quand elle se trouve à son éloignement maximal de celle-ci. L’énergie potentielle (en violet) est maximale quand la masse se trouve à son éloignement maximal de sa position d’équilibre et nulle quand elle passe par celle-ci. Nous observons donc que ces deux forces sont complémentaires ; l’une est à sont maxima quand l’autre est à son minima.

La somme des énergies cinétique et potentielle nous donne l’énergie mécanique du système, censée être constante. Nous observons, malgré quelque imprécisions, que l’énergie mécanique (en brun) est bien conservée dans ce système.

- Nous avons ignoré l’énergie potentielle de gravitation, car celle-ci s’annule quand l’énergie mécanique est écrite en fonction de h (origine du repère coïncidant avec la position d’équilibre de la masse) plutôt que de y (origine du repère coïncidant avec la position de l’extrémité libre du ressort).

Nous avons $E_{mec}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}ky^2+mgy$ , ce qui donne en remplaçant y par h : $E_{mec}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kh^2+mgh$. Puisque $mg=-kh$, nous pouvons écrire $E_{mec}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kh^2-kh^2$, ce qui se simplifie pour donner $E_{mec}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kh^2$.

- Si une force non-conservative comme la résistance de l’air devient non négligeable, le graphique de l’énergie mécanique est modifié.

La masse, freinée, possède une énergie cinétique plus faible. L’énergie mécanique n’est donc plus constante, mais varie avec une période égale à celle des énergies cinétique et potentielle, ou à la moitié de la période d’oscillation de la masse.

De plus, l’oscillation étant amortie, l’énergie mécanique décroit au fil du temps.

Conclusion :

Nous avons étudié les énergies cinétique et potentielle élastique dans un mouvement harmonique - notamment après avoir trouvé expérimentalement la raideur du ressort, soit $k=15.98 \frac{N}{m}$ - ainsi que leur somme, égale à l’énergie mécanique du système.

Nous avons pu vérifier, malgré des imprécisions dans les courbes sans doute dues à la fréquence trop basse des mesures de position (50Hz), que cette dernière est constante dans une situation où les forces de frottements sont négligeables, mais qu’elle devient périodique et décroissante si une force non-conservative comme la résistance de l’air devient importante.


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