La Machine d’Atwood

Etude de la relation masse/accélération
samedi 10 janvier 2009
par  Adrien Paul, Dan Orsholits, Loïc Reymond
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La machine d’Atwood

  • But
    - Déterminer la relation entre l’accélération d’une machine d’Atwood et les masses qu’elle contient.
    Calculer la gravitation terrestre $g$.
  • Schéma du montage expérimental

  1. m1 < m2</sub
  2. Hypothèses : les masses du fil et de la poulie sont négligeables, ainsi
    que tous les frottements.
  • Méthode
  1. Mesurer les accélérations pour différentes masses m1 et m2, mais sans changer la masse totale mT
    = m2 + m1.
  2. Représenter graphiquement $a$ en fonction de $\Delta$m.
  3. Mesurer les accélérations pour différentes masses m1 et m2, mais sans changer la différence de
    masse $\Delta$m = |m2 - m1|.
  4. Représenter graphiquement $a$ en fonction de $\frac{1}{m_{T}}$
  5. À l’aide de ces deux graphiques, établir la relation entre a, m1 et m2.
  • Manipulations
    Expérience 1 : mT reste constante
  1. À chaque extrémité du fil, accrocher une masse de 60 g.
  2. Sur la masse de droite, accrocher 11 surcharge de 1 g chacune et mesurer 3 fois l’accélération.
  3. Déplacer une surcharge de la masse de droite sur celle de gauche et mesurer 3 fois l’accélération.
  4. Déplacer une 2ème surcharge de la masse de droite sur celle de gauche et mesurer 3 fois
    l’accélération.
  5. Déplacer une 3ème surcharge de la masse de droite sur celle de gauche et mesurer 3 fois
    l’accélération.
  6. Déplacer une 11ème surcharge de la masse de droite sur celle de gauche et mesurer 3 fois
    l’accélération.
Nombre de
surcharges à
gauche
m1 kgNombre de surcharges à droitem2 kgmT kgΔm kga1 m/s2a2 m/s2a3 m/s2am m/s2
0 0.06 11 0.071 0.131 0.06 0.942 0.942 0.970 0.951
1 0.061 10 0.07 0.131 0.061 0.831 0.798 0.798 0.809
2 0.062 9 0.069 0.131 0.062 0.601 0.594 0.608 0.601
3 0.063 8 0.068 0.131 0.063 0.394 0.394 0.390 0.393
4 0.064 7 0.067 0.131 0.064 0.246 0.250 0.250 0.248
5 0.065 6 0.066 0.131 0.065 0.0758 0.0767 0.0755 0.0760
6 0.066 5 0.065 0.131 0.066 -0.0855 -0.0864 -0.0887 -0.087
7 0.067 4 0.064 0.131 0.067 -0.246 -0.244 -0.250 -0.247
8 0.068 3 0.063 0.131 0.068 -0.394 -0.390 -0.390 -0.391
9 0.069 2 0.062 0.131 0.069 -0.594 -0.608 -0.601 -0.601
10 0.07 1 0.061 0.131 0.07 -0.820 -0.788 -0.798 -0.802
11 0.071 0 0.060 0.131 0.071 -0.970 -0.942 -0.956 -0.956

La hauteur de chute est de 91 cm.

Expérience 2 : $\Delta$m reste constante
  1. À une extrémité du fil, accrocher une masse de 60 g et à l’autre extrémité, une masse de 70 g
    puis mesurer 3 fois l’accélération.
  2. Sur les masses de gauche et de droite, accrocher une surcharge de 10 g et mesurer 3 fois
    l’accélération.
  3. Sur les masses de gauche et de droite, accrocher une 2ème surcharge de 10 g et mesurer 3 fois
    l’accélération.
  4. Sur les masses de gauche et de droite, accrocher une 3ème surcharge de 10 g et mesurer 3 fois
    l’accélération.
  5. Sur les masses de gauche et de droite, accrocher une 10ème surcharge de 10 g et mesurer 3 fois
    l’accélération.
Nombre de
surcharges
à gauche et à droite
m1 kgm2 kgΔm kgmT kg1/mT 1/kga1 en m/s2a2 en m/s2a3 en m/s2am en m/s2
0 0.05 0.06 0.01 0.11 9.091 0.866 0.831 0.854 0.850
1 0.06 0.07 0.01 0.13 7.692 0.748 0.748 0.729 0.742
2 0.07 0.08 0.01 0.15 6.667 0.653 0.652 0.653 0.653
3 0.08 0.09 0.01 0.17 5.882 0.608 0.594 0.594 0.599
4 0.09 0.1 0.01 0.19 5.263 0.538 0.538 0.549 0.542
5 0.1 0.11 0.01 0.21 4.762 0.504 0.509 0.504 0.495
6 0.11 0.12 0.01 0.23 4.348 0.425 0.417 0.417 0.419
7 0.12 0.13 0.01 0.25 4 0.403 0.403 0.403 0.403
8 0.13 0.14 0.01 0.27 3.704 0.373 0.376 0.373 0.374
9 0.14 0.15 0.01 0.29 3.448 0.341 0.347 0.347 0.345
10 0.15 0.16 0.01 0.31 3.226 0.310 0.313 0.311 0.311

Note : Pour obtenir amoyenne il faut utiliser la formule $d = \frac {1}{2}at^2$ en conaissant d (hauteur de la table) donc, $a = \frac{2h}{t^2}$

  • Exploitation des mesures
    - a) Pour l’expérience 1, représentez graphiquement $a$ en fonction de $\Delta$m et tracez la droite moyenne.

Graphique de l’accélération en fonction de ∆m

Atwood graphique ∆m

La pente a une équation $y = 86.465 x$

- Exprimez par une phrase, la relation entre l’accélération $a$ et les masses m1 et m2.

Lorsque $\Delta$m diminue l’accélération elle aussi diminue.

- Exprimez par une formule, la relation entre l’accélération $a$ et les masses m1 et m2.

$a = pente\times |m_{1}-m_{2}|$ soit $a=pente\times\Delta m$

- b) Pour l’expérience 2, représentez graphiquement $a$ en fonction de 1/mT et tracez la droite moyenne.

Graphique de l’accélération en fonction de
l’évolution de la masse totale

Atwood graphique 1/m

$M$ correspond à la masse totale.
La pente est d’équation $y = 0.0372276+ 0.0918256 x$
- Exprimez par une phrase, la relation entre l’accélération $a$ et les masses m1 et m2.

Si l’écart de masse reste constant et que la masse totale augmente, l’accélération dimminue.

- Exprimez par une formule, la relation entre l’accélération $a$ et les masses m1 et m2.

$a = pente\times{\frac{1}{m_T}}$ soit $\frac{pente}{m_T}$

- c) Exprimez par une unique formule combinant les deux précédentes, la relation entre l’accélération
$a$ et les masses m1 et m2.

$a = pente\frac{\Delta{m}}{m_t}$

  • Questions
    - a) Faites un schéma de la machine d’Atwood sur lequel vous représenterez toutes les forces qui s’y
    exercent.

Atwood forces

La force dessinée en rouge et celle du poids de m2 et donc la force avec la quelle m1 est tirée vers le haut, et inversément pour la force verte.

- b) Exprimez algébriquement la force résultante qui s’exerce sur la machine d’Atwood.

Dans notre cas :

$F_1 = T - m_1g$

$F_2 = m_2g -T$

alors : $\sum \vec F = (T - m_1g) + (m_2g -T) = g(m_2 - m_1)$

- c) Appliquez à la machine d’Atwood, la 2ème loi de Newton puis exprimez algébriquement
l’accélération en fonction de m1, m2 et la gravitation $g$.

2ème loi de Newton : $\sum \vec F = m\times \vec {a} \Rightarrow \vec {a}= \frac{\sum \vec F}{m} $

Il faut noter que m = m1 + m2

Donc on obtient :

$ {a} = g\frac{(m_2 - m_1)}{(m_1+m_2)}$

- d) À l’aide de cette expression et de vos graphiques, calculez la valeur de la gravitation terrestre $g$.

Calculons gmax et gmin pour chaque graphique :

$g = a\frac{(m_1+m_2)}{(m_2 - m_1)}$

Pour le graphique numéro 1 g vaut :

gmax = 11.38 $\frac{m}{s^2}$

gmin = 9.96 $\frac{m}{s^2}$

$g = \frac{g_m_a_x + g_m_i_n}{2} = 10.67$ $\frac{m}{s^2}$

Pour le graphique numéro 2 g vaut :

gmax = 10.89 $\frac{m}{s^2}$

gmin = 9.35 $\frac{m}{s^2}$

$g = \frac{g_m_a_x + g_m_i_n}{2} = 10.12$ $\frac{m}{s^2}$

- e) Donnez la valeur de la gravitation terrestre qui figure dans les tables puis calculez l’erreur relative
$\frac{\Delta g}{g}$ de votre résultat.

Pour le graphique numéro 1 :

$ \frac{\Delta g}{g} = \frac{(11.38-9.96)}{9.81} = 14.48$%

Pour le graphique numéro 2 :

$ \frac{\Delta g}{g} = \frac{(10.89-9.35)}{9.81} = 15.7$%

  • Discussion des résultats

Comment expliquer la différence entre votre valeur calculée de g et celle donnée dans les tables ?

On peut expliquer cette différence par la précision, ou plutôt la manque de celle-ci, de nos instruments utilisés (peut-être nos résultats auraient été meilleurs si on avait un chronomètre suisse au lieu d’un chronomètre chinois...). L’erreur humaine est non négligeable étant donné le temps de pression du bouton du chronomètre tardif par rapport à l’impact du mobile. Cependant on peut remarquer que pour un intervalle de temps plus grand, nos mesures se rapprochent de ce qu’on devrait obtenir.

  • Conclusion

Cette éxperience nous a permis de comprendre comment la masse affecte l’accélération d’un mobile et la relation entre l’accélération terrestre et celle du mobile. On a pu également mieux comprendre le fonctionnement de la machine d’Atwood surtout la relation entre les masses et la tension de la corde. Ce que nous avons pu également mettre en évidence est le fait que plus la différence entre deux masses en "compétition" autour d’une poulie est grande, plus l’accélération sera grande.


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