Mouvement d’un projectile

Décomposition du mouvement et calcul d’erreur
mercredi 10 décembre 2008
par  Adel Ben Snoussi, Bryan Reck
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Mouvement d’un projectile

But :

- Étudier le mouvement d’une bille chutant d’une table et comparer les résultats expérimentaux aux prédictions théoriques.

Méthode :

- Déterminer la vitesse d’une bille roulant sur le plateau d’une table, juste avant qu’elle n’en chute.

- Mesurer la distance horizontale parcourue par la bille durant sa chute.

Manipulations :

- Mesurer le diamètre de la bille et estimer l’incertitude sur cette mesure.

- Mesurer la hauteur du plateau de la table par rapport au sol et estimer l’incertitude sur cette mesure.

- Maintenir la bille immobile sur la rampe de lancement, puis la lacher.

- Lire sur le chronomètre, la durée du passage de la bille sous la porte et en déduire sa vitesse. Estimer l’incertitude sur la mesure de cette durée.

- Mesurer la distance entre le point du sol situé sous le fil à plomb et le point d’impact de la bille sur le sol, puis estimer l’incertitude sur cette mesure. Cette distance est la distance horizontale parcourue par la bille durant sa chute.

- Répétez les points trois points précédent pour plusieurs positions de départ différentes, de la bille sur la rampe de lancement.

Mesures :

- Diamètre$_{bille}$ = 0.03m ± 0.000005m.

- Hauteur$_{table}$ = 0.87m ± 0.01m.

- Pour le temps de passage sous la porte, l’incertitude est de ±0.0001s.

- Pour la distance atteinte au sol, l’incertitude est de ±0.0002m.

- Tableau des mesures (avec $vitesse=\frac{d}{t}$) :

Temps de passage sous la porte (en s)Vitesse (en m/s)Distance franchie au sol (en m)
1 0.0195 1.538 0.615
2 0.02 1.5 0.595
3 0.0205 1.463 0.575
4 0.0214 1.402 0.57
5 0.0218 1.376 0.558
6 0.0223 1.345 0.548
7 0.0232 1.293 0.527
8 0.0242 1.24 0.5
9 0.0254 1.181 0.482
10 0.0262 1.145 0.467

Exploitation des mesures :

- Graphique de la distance franchie et de la vitesse :

- Pente du graphique : 0.402534s

- Comme la pente de la droite est constante et représente le temps de chute de la bille, le temps de chute vaut donc 0.4 seconde. Comme la droite est constante, le temps de chute ne dépend pas de la vitesse initiale de la bille. Elle dépend juste de l’attraction terrestre (g=9.81) et de la force de frottement.

Prédictions théoriques :

Nous supposons que les forces de frottement exercées sur la bille durant sa chute, sont suffisamment faibles pour être négligées.

Calculons la distance horizontale théorique d parcourue par la bille pendant sa chute. Nous choisissons un repère dont l’origine se trouve au point de chute de la bille, d’abscisse horizontale et orientée dans le sens du déplacement de la bille sur la table et l’ordonnée, verticale et orientée vers le bas.

Le mouvement de la bille dans la direction horizontale est un MRU et celui dans la direction verticale, un MRUA. Les horaires dans ces deux directions fournissent le système suivant :

$d=v_{0}t$

$h=\frac{1}{2}gt^{2}$

En éliminant la variable t de ces deux équations, on obtient :

$h=\frac{gd^{2}}{2v_{0}^{2}}$

d’où :

$d=v_{0}\sqrt\frac{2h}{g}$

Calcul d’erreur :

L’expression ci-dessus montre que la distance horizontale théorique d dépend de la vitesse initiale $v_{o}=\frac{d}{t}$ de la bille (où ${d}$ est le diamètre de la bille et ${t}$, la durée de son passage sous la porte) et de la hauteur ${h}$ de la table. Ces trois grandeurs (${d, t, h}$) ont été mesurées et sont par conséquent entachées d’incertitudes, lesquelles entraînent une incertitude sur la distance théorique ${d}$. Il s’agit de calculer l’incertitude $\Delta{d}$ sur cette distance théorique, à partir des incertitudes sur les grandeurs mesurées (lesquelles ont été estimées dans la partie "Manipulations et mesures"). Pour ce faire, on
calcule les distances théoriques minimale $d_{min}=v_{o}_{min}\sqrt\frac{2h_{min}}{g}$, puis maximale $d_{max}=v_{o}_{max}\sqrt\frac{2h_{max}}{g}$. L’incertitude sur la distance horizontale théorique est donnée par $\Delta{d}=\frac{d_{max}-d_{min}}{2}$ et la distance théorique ${d}$ est le milieu de l’intervalle [$d_{min} ;d_{max}$], à savoir $d=\frac{d_{min}+d_{max}}{2}$.

Rappelons que pour une grandeur mesurée ${m}$ entachée d’une incertitude $\Delta{m}$, les valeurs minimale et maximale de cette grandeur sont données respectivement par $m_{min}=m-\Delta{m}$ et $m_{max}=m+\Delta{m}$. Dans cette expérience, les incertitudes portent sur les mesures du diamètre de la bille ($\Delta{s}$), de la durée du passage de la bille sous la porte ($\Delta{t}$), de la hauteur de la table ($\Delta{h}$) et de la distance horizontale parcourue par la bille durant sa chute ($\Delta{d}$*). L’astérisque a pour but de distinguer cette incertitude sur la distance horizontale mesurée, de celle sur la distance horizontale théorique ($\Delta{d}$) calculée plus haut. Comparer les résultats expérimentaux aux prédictions théoriques revient donc à étudier le recouvrement des intervalles d’incertitude sur les valeurs théorique et expérimentale de la distance horizontale parcourue par la bille durant sa chute.

Pour chaque vitesse initiale $v_{0}$ de la bille, calculer l’intervalle d’incertitude [$d_{min}$ ; $d_{max}$] sur la valeur théorique de la distance horizontale parcourue pendant sa chute, puis calculez l’intervalle d’incertitude [$d_{min}$* ; $d_{max}$*] sur la valeur mesurée de cette distance (où $d_{min}$*=d*-$\Delta{d}$* et $d_{max}$*=d*+$\Delta{d}$* avec d* , la valeur mesurée de la distance horizontale). Vérifiez s’il existe un recouvrement (une intersection) de ces deux intervalles (c.f. figure ci-dessous). Si ce n’est pas le cas, cela signifie que les incertitudes sur vos mesures ont été mal estimées.

- Tableau pour tous les d (en m), avec une incertitude de ±0.0002m :

d (min)d (max)d (théorique)d (obtenu)
1 0.644 0.651 0.6475 0.615
2 0.628 0.635 0.6315 0.595
3 0.613 0.62 0.6165 0.575
4 0.587 0.594 0.6005 0.57
5 0.576 0.583 0.5795 0.558
6 0.563 0.57 0.5665 0.548
7 0.541 0.548 0.5445 0.527
8 0.519 0.525 0.522 0.5
9 0.495 0.5 0.4975 0.482
10 0.479 0.485 0.482 0.467

Conclusion :

On peut remarquer que les résultats obtenus sont assez différent des résultats théoriques.

Ces résultats sont dus à l’imprécision humaine. À force d’accumuler les imprécisions, comme pour le diamètre de la bille, le temps de passage sous la porte, la hauteur de la table, la distance horizontale franchie, cela augmente de plus en plus l’imprécision. Il y a en plus les frottements dont on ne tient pas compte, et pour avoir des résultats plus satisfaisant il faudrait effectuer plusieurs lancers pour chauqe point de départ, mais comme le lancer se fait à la main, on aura des résultats différents et donc il faudrait faire une moyenne des résultats obtenus.


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