Résistance de l’air

dimanche 12 octobre 2008
par  Adrien Paul, Dan Orsholits, Loïc Reymond
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Résistance de l’air

But :

  • Étudier l’effet du frottement de l’air sur la vitesse d’un objet en chute verticale.
  • Étudier la relation entre la masse et la vitesse limite d’un objet en chute verticale
  • Comparer les résultats expérimentaux à deux modèles différents décrivant la force de frottement fluide

Méthode :

À l’aide d’un détecteur de mouvement, enregistrer l’horaire d’un cône en papier en chute verticale.

Manipulations et mesures

a. Pesez un cône en papier.

b. Positionnez le cône en papier à une dizaine de centimètres au-dessous du détecteur de
mouvement.

c. Dans l’expérience n° 13 du dossier Physics with Computers du logiciel Logger Pro, cliquez sur le
bouton "Collect" pour enclencher le détecteur de mouvement. Quand celui-ci commence à
crépiter, lâchez le cône en papier puis éloignez vous du détecteur. Si nécessaire, répétez cette
opération jusqu’à obtenir une relation approximativement linéaire sur une partie de votre
graphique.

d. Ajustez une droite de régression linéaire à cette partie de votre graphique puis en déduire la
vitesse limite du cône lors de sa chute.

e. Empilez deux cônes en papier l’un sur l’autre puis répétez les opérations a) à d). Recommencez à
nouveau en empilant trois cônes et ainsi de suite.

Modèle théorique du frottement fluide

Un objet qui se déplace dans un fluide, subit de sa part une force de frottement dont le sens est
opposé à celui de son déplacement et dont l’intensité dépend de sa vitesse. Pour de faibles vitesses,
l’intensité de la force de frottement est proportionnelle à la vitesse :

$F_{f}=-bv$

- $F_{f}$ : intensité de la force de frottement
- $b$ : un coefficient de proportionnalité
- $v$ : vitesse de l’objet
Le signe négatif indique que le sens de la force est opposé à celui du déplacement.
Pour des vitesses élevées, l’intensité de la force de frottement est approximativement proportionnelle
au carré de la vitesse :

$F_{f}=-cv^2$

- $F_{f}$ : intensité de la force de frottement
- $c$ : un coefficient de proportionnalité
- $v$ : vitesse de l’objet

Analyse des résultats

Dès que l’objet a atteint sa vitesse limite (constante), il découle de la 1ère loi de Newton que la
résultante des forces qu’il subit, est nulle. En supposant que les seules forces qui s’exercent sur l’objet
durant sa chute sont sa force de pesanteur d’une part et la force de frottement d’autre part, toutes
deux ont la même intensité :

$F_{f}=F_{p}$

Cette égalité permet d’exprimer la relation entre la vitesse limite et la masse de l’objet.

  • À faible vitesse, $-bv = mg$ où $v = v_{lim}$ . D’où : $v_{lim}\propto m$
  • À vitesse élevée, $-cv^2 = mg$ où $v = v_{lim}$ . D’où : $v^2_{lim}\propto m$

Pour déterminer laquelle de ces deux lois décrit le mieux vos données expérimentales, représentez
graphiquement, à l’aide du logiciel Logger Pro, la vitesse limite du cône en fonction de sa masse d’une
part, puis le carré de sa vitesse limite en fonction de sa masse d’autre part.

Tableau des résultats expérimentaux

EssaiVitesse limite du cône de 1.90g en m/sVitesse limite du cône de 5.64g en m/sVitesse limite du cône de 10.64g en m/sVitesse limite du cône de 15.70g en m/s
1 1.48 2.79 3.80 4.01
2 1.48 2.62 3.60 4.13
3 1.43 2.83 3.67 4.12
4 1.48 2.68 3.62 4.14
Moyenne 1.47 2.73 3.67 4.10

À partir de vos graphiques :

  • Déterminez laquelle des deux lois ci-dessus décrit le mieux vos données expérimentales, en
    justifiant votre réponse.

Étant donné la forme peu aérodynamique de notre objet, nous avons choisi de prendre la deuxième formule comme étant la plus adaptée, car celle-ci donne plus d’importance à la vitesse qu’au coefficient de frottement : La vitesse est au carré, donc l’influence de $c$ diminue. D’ailleurs, en calculant à l’aide de nos données expérimentales, nous avons trouvé des $\Delta$ moins importants avec la 2ème formule.
La marge d’erreur reste grande. Elle peut être due à l’imprécision de la pesée, ou du capteur. Le fait que le cône ne se déplace pas en ligne parfaitement droite durant sa chute influe aussi considérablement sur nos données. Il est donc normal que nos résultats expérimentaux soient quelque peu éloignés des résultats théoriques.

  • Déterminez la valeur numérique du coefficient de proportionnalité (et son unité) apparaissant dans cette loi et expliquez votre méthode pour y parvenir.

La valeur numérique du coéfficient est c=$-\frac{mg}{{v}^2}$. Son unité est kg par mètre : c=$-\frac{{kg}\frac{m}{{s}^2}}{\frac{{s}^2}{{m}^2}}$ = c=$\frac{kg}{m}$

$c={8.63}\times{10^-3}\frac{kg}{m}$

$b$ serait non pas en $-\frac{kg}{m}$ mais en $-\frac{kg}{s}$ pour maintenir l’égalité des unités.

Questions

  • Comparez l’évolution de la vitesse au cours du temps d’un cône en papier et d’une balle de golf en
    chute verticale, dans le cas ou la résistance de l’air serait inexistante. Tracez qualitativement
    (mais clairement) l’allure du graphique de leur vitesse en fonction du temps.
  • Faites un schéma du cône à un instant de sa chute sur lequel vous représenterez (à la règle) et
    nommerez toutes les forces qu’il subit avant d’avoir atteint sa vitesse limite.
  • Même consigne mais à un instant où le cône a atteint sa vitesse limite.
  • Donnez l’expression algébrique du temps de chute t d’un cône en papier en fonction de sa masse m, en supposant qu’il se déplace à sa vitesse limite donnée par la relation (1) ci-dessus, du début
    à la fin de sa chute.
  • Même consigne mais avec la vitesse limite donnée par la relation (2) ci-dessus.
  • Considérons un parachutiste qui saute d’un hélicoptère immobile par rapport au sol à une certaine
    altitude, puis se laisse chuter un certain temps avant d’ouvrir son parachute pour finalement
    terminer tranquillement son périple comme il se doit, dans un vert pâturage. Représentez
    qualitativement (mais soigneusement) la vitesse de ce parachutiste en fonction du temps durant
    tout son parcours, en indiquant sur le graphique l’instant où il ouvre son parachute.
    La résistance de l’air est bien entendu à prendre en compte !

Réponses

  • Question 1 :

Graphique de la vitesse en fonction du temps d’un cône en papier

Graphique de la vitesse en fonction du temps d’une balle de golf


Les deux accélérations étant strictement identiques (car le frottement est négligé) les deux objets tomberont exactement en même temps et à la même vitesse.
L’équation des deux droites est la même : $y=9.81x$

  • Question 2 :

Schéma du cône, ainsi que les forces agissant sur lui, n’ayant pas encore atteint sa vitesse limite


Lorsque l’objet n’a pas atteint sa vitesse limite, l’accélération est plus forte que le frottement, la vitesse continuera donc d’augmenter tant que la vitesse limite ne sera pas atteinte.

$\sum \vec F>0$ ou $\sum \vec F<0$

  • Question 3 :

Schéma du cône, ainsi que les forces agissant sur lui, ayant atteint sa vitesse limite


La vitesse limite est atteinte quand l’accélération et le frottement s’annulent : le vitesse ne varie plus.

$\sum \vec F=0$

  • Question 4 :

avec $-bv = mg$ où $v = v_{lim}$ : $v$ est donc constante

$v=\frac{h}{t}$ => $\frac{h}{t}=\frac{mg}{b}$

$t=\frac{hb}{mg}$

  • -Question 5 :

avec $-cv^2 = mg$ où $v = v_{lim}$ : $v$ est donc constante

$v^2=\frac{h^2}{t^2}$

$t=\sqrt{\frac{h^2c}{mg}}$

  • Question 6 :

Graphique de la course d’un parachutiste

Le parachutiste atteindra une première vitesse limite en chute libre seul (premier palier sur le graphique) puis une seconde après l’ouverture de son parachute : celle-ci est atteinte plus vite car la vitesse avant ouverture est plus élevée que la vitesse limite après ouverture. Et l’arrivée au sol se caractérise par une vitesse nulle.

Conclusion

Nous avons pu prouver le rapport de proportionnalité entre la vitesse limite et la masse d’un objet. Plus un objet est lourd plus sa vitesse limite sera grande. Le coefficient de frottement agit aussi sur cette vitesse : un objet lourd mais de grand volume aura une vitesse limite plus faible qu’un objet de même masse avec un coefficient de frottement plus faible. Nous avons également pu prouver que même à une vitesse peu élevée, l’utilisation de la deuxième formule peu être plus adaptée, car les turbulences sont grandes quand l’objet n’est pas aérodynamique.


Commentaires  forum ferme

Logo de Cyril Alispach
lundi 13 octobre 2008 à 20h25 - par  Cyril Alispach

Bonsoir,

Il manque un t à peut être à la fin du rapport dans la conclusion. J’imagine que cette faute d’orthographe ne donne pas droit à une prime mais je l’ai vue en lisant le rapport alors je vous la signale.

Meilleures salutations