Les Attracteurs

Travail de vulgarisation
jeudi 14 janvier 2010
par  Bruno Rohrbasser
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Transformation affine

Tout d’abord, avant de vous expliquer comment fonctionne un attracteur, je vais devoir vous expliquer ce qu’est une transformation affine.
Elle est composée d’une translation et d’une transformation (homothétie, rotation, etc.).

Si l’on exprime mathématiquement celle-ci, cela donne les calculs suivants :
$\binom{u}{v}= \begin{pmatrix}a&b \\c&d\end{pmatrix}\binom{x}{y} + \binom{c}{f}$

On remarque très rapidement que la matrice correspond à la transformation linéaire (transformation affine sans translation).
Le couple $\binom{u}{v}$ donne les nouvelles coordonnées du point (après la transformation) et le couple $\binom{x}{y}$ les anciennes.
$\binom{c}{f}$ correspond quant à lui à la translation.

Itérations de fonctions

Une itération est l’action de répéter plusieurs fois quelque chose. En math, cela signifie exactement la même chose.
On parle de fonctions itérées si elle s’effectue n fois sur elle-même (ou n correspond au nombre d’itérations).

Les Attracteurs

C’est la question !
Qu’est-ce qu’un attracteur ?
L’attracteur correspond au nombre d’itérations après lesquels la figure ne change plus.
Si on regarde du côté purement mathématique, les nombres peuvent devenir infiniment petits. L’attracteur serait donc atteint seulement après une infinité d’itérations.
En pratique, c’est très différent. Il y a plusieurs possibilités pour atteindre un attracteur. Par exemple, sur un ordinateur, l’attracteur sera atteint quand la précision aura atteint le pixel.
Un autre exemple est la vision humaine. On peut considérer que l’attracteur est atteint quand on n’arrive plus à distinguer les différences de taille. Si on casse un cailloux en morceaux toujours plus petits, il y aura un stade où on ne verra plus les différences de taille.

Voici un exemple réalisé par moi-même à l’aide d’une démonstration wolfram

On remarque sur la première le nombre très faible d’itération, alors que sur la deuxième, on peut dire que l’on a atteint (ou presque) l’attracteur.

J’ai essayé de reproduire cette attracteur, mais n’ayant pas les coordonnées exactes des points, la reproduction manque grandement de précision.
On reconnait cependant l’image de base.
En voici le code Mathematica pour les intéressés :

m1 = {{0.375, 0.125}, {0.125, 0.375}};
q1 = {-0.5, -0.5};
m2 = {{0.375, -0.125}, {-0.125, 0.375}};
q2 = {-0.5, 0.5};
m3 = {{0.375, 0.125}, {0.125, 0.375}};
q3 = {0.5, 0.5};
m4 = {{0.375, 0.25}, {-0.125, 0.25}};
q4 = {0.875, -0.625};
t1[p_] := m1.p + q1
t2[p_] := m2.p + q2
t3[p_] := m3.p + q3
t4[p_] := m4.p + q4

Etoile[n_] :=
Show[Graphics[{PointSize[.01],
   Map[Point,
    NestList[
     Which[(r = Random[Integer, {1, 100}]) <= 85, m1.# + q1, r <= 92,
        m2.# + q2, r <= 99, m3.# + q3, r == 100, m4.# + q4] &, {0,
      0}, n]]}, AspectRatio -> Automatic, PlotRange -> All]]

Etoile[10000]

Et voici le résultat avec 10’000 itérations

Conclusion

Pour finir, maintenant que vous avez compris en gros ce qu’est un attracteur, je vais juste vous expliquer ci-dessous qu’ils ne servent pas uniquement à faire de jolies images comme celle-ci :

En gros, les attracteurs servent à estimer ce qui va émerger du chaos.
L’attracteur de Lorenz, par exemple, nous permet de dire que quelles que soient les conditions initiales, le système sera sur son attracteur.

J’espère vous avoir éclairé sur ce qu’est un attracteur !


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