Les Systèmes de Fonctions Itérées Les systèmes de fonctions itérées, janvier 2010.

, par  Simon Callegari , popularité : 1%

Les Systèmes de Fonctions Itérées

Pour comprendre ce que sont les systèmes de fonctions itérées, ou IFS, de l’anglais Iterated Function System, il faut tout d’abord savoir ce qu’est une itération.

Itération

Une itération est un synonyme de répétition. Itérer une fonction (ou plus exactement sa composition), signifie que l’on compose plusieurs fois la fonction avec elle-même. Cela revient à calculer l’image d’une valeur par une fonction, prendre ce résultat comme nouvelle valeur, puis calculer à nouveau son image. Le nombre de fois que l’on replace le résultat dans la fonction est appelé nombre d’itérations. Ceci peut se faire facilement en utilisant le logiciel Mathematica [1] .

IFS

Sachant ce qu’est une itération, il est facile de définir un IFS. Il s’agit de plusieurs fonctions (système) qui sont itérées. Selon un théorème, celui de Hutchinson, si les fonctions sont contractantes, c’est-à-dire qu’elles rapprochent les points des figures sur lesquelles elles sont appliquées, alors l’IFS possède un attracteur, unique. Il s’agit de la limite de cet IFS, ce vers quoi il finira toujours par tendre au fil de l’augmentation du nombre des itérations, quelles que soient les valeurs initiales. L’attracteur ne dépend donc pas de celles-ci. Un exemple d’attracteur d’IFS est le triangle de Serpinsky [2].

Analogie d’un IFS

Il est possible de comparer un IFS à un photocopieur un peu particulier. Imaginons que celui-ci possède plusieurs systèmes optiques, c’est-à-dire qu’il soit capable de copier à chaque fois de plusieurs façons l’image de départ, mais toujours en la réduisant. Les systèmes optiques représentent les fonctions, et l’image est la valeur initiale. Lorsque l’on photocopie une image avec cette machine, on en obtient une nouvelle, réduite, composée des images obtenues pour chaque système optique. Cette copie contient autant d’images, si déformées ou réduites qu’elles soient, qu’il y a de systèmes optiques dans le photocopieur. Mais il ne faut pas s’arrêter à la première copie, et replacer celle-ci dans le photocopieur, puis obtenir une nouvelle copie, et la replacer encore dans le photocopieur, etc. Cela joue le rôle des itérations. Mais il arrive un moment où l’image obtenue ne se modifiera plus : ce sera l’attracteur du photocopieur. Tout comme celui d’un IFS, il ne dépend pas de l’image initiale, aussi surprenant que cela puisse paraître !

Applications

les IFS permettent de réaliser relativement facilement des images fractales, dans lesquelles des motifs se répètent. Il parviennent souvent, et cela est très surprenant, à imiter des formes et des structures naturelles comme des fougères, des flocons, etc. En se basant là-dessus, l’informatique les utilise grandement afin de comprimer le volume de données des images.

[1Il faut pour cela utiliser la commande Nest. Trois arguments sont nécessaires pour la définir : le nom de la fonction (par exemple f ou Cos), la valeur initiale et le nombre d’itérations. Voir document joint "Iteration(Nest)"

[2Voir document joint "JeuDuCahos"