Transformation affine

Collège Voltaire
jeudi 14 janvier 2010
par  Timothée Weber
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Affine Transform from the Wolfram Demonstrations Project by Bernard Vuilleumier


Transformation affine

Introduction :
La transformation affine est la transposition d’une image d’un espace affine à un autre. Une transformation affine se compose généralement d’une transformation linéaire et d’une translation.

Transformation linéaire :
La transformation linéaire est une rotation, une mise à l’échelle ou un cisaillement, comme le remodelage de l’image. Plusieurs transformations linéaires peuvent être combinées en une seule. Elle est aussi appelée application linéaire ou opérateur linéaire. Elle respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels, ou, en d’autre termes, la transformation linéaire « préserve les combinaisons linéaires ».
Une transformation affine va transformer une image linéairement mais l’aspect, la taille, le sens de celle-ci va changer. En voici un exemple ci-dessous :

Translation :
La translation est le déplacement d’une image, d’une figure, d’un ensemble de points par une action de « glissement » sans en changer le sens, la direction et les longueurs, ni la retourner ou la déformer. Dans une translation, les longueurs, le parallélisme, la perpendicularité et plus généralement les angles sont conservés. Une translation transforme une droite en une droite parallèle et une figure géométrique est transformée en une figure géométrique semblable.
Pour construire l’image d’une figure géométrique, on ne construit donc que l’image de ses points caractéristiques : pour un segment, ses extrémités, pour un triangle, ses trois sommets, pour un cercle, son centre et son rayon, etc.
La translation est la seule transformation qui laisse invariant les vecteurs c’est-à-dire telle que :

Transformation affine :
La transformation affine est la transformation d’une image d’un espace affine à un autre. L’image sera modifiée par sa taille, son sens, sa direction grâce à la transformation linéaire et elle aura changé de position, de place grâce à la translation. Le principe de la transformation affine est de définir un parallélogramme dans le plan de l’image de départ et qui correspondra à celui de l’image d’arrivée.

Dans le cas de dimension finie chaque transformation affine est donnée par une matrice et un vecteur b. La portion linéaire peut se représenter à l’aide d’une matrice M alors que la translation est représentée par un vecteur .

L’image évolue petit à petit jusqu’à être transformée comme ici :

Mais ceci reste encore assez simple, les images peuvent également être transformées de cette façon en multipliant les itérations, avec une multitude de pentagones :

Une multitude de transformations affines transforment un simple carré en une figure bien plus évoluée comme le montre l’image ci-dessous, il sagit de la fougère de Barnsley :

Voici les sources que j’ai utilisées :

- www.wikipedia.org
- en.wikipedia.org
- www.walkingrandomly.com


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