Transformation Affine : Quésako ?

Transformation Affine
jeudi 14 janvier 2010
par  Cyril Alispach
popularité : 3%

Table des Matières

Définition

Tout d’abord il faut savoir qu’il existe plusieurs types de transformations dans plusieurs espaces vectoriels de $ \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \mathbb{R}^n$ :

  • de déplacements, conservent les distances et les angles orientés.
  • d’isométries, conservent les distances et les angles.
  • affines, conservent le parallélisme.
  • etc.

Dans cet article nous allons nous intéresser aux transformations dites "affines". On dit de cette transformation qu’elle est affine car selon Euler (Mathématicien suisse 1707-1783), qui est le premier à avoir utilisé ce terme en 1748, « deux courbes images l’une de l’autre par une telle transformation présentent entre elles une certaine affinité ».
Voici une application Mathematica qui nous fait bien comprendre le fonctionnement d’une transformation affine ou encore cette transformation affine de la carte de la France :

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Propriétés

  1. Conservation des parallélismes (on ne transforme pas la courbure du sous-espace vectoriel, du plan pour l’exemple)
  2. Une transformation affine définie par une fonction $f$ va toujours d’un sous-espace vectoriel $E$ vers un même espace vectoriel $E’$ :

    $f:E \rightarrow E’$

Notations

- Écriture Matricielle

  • Dans le Plan

Une transformation affine dans $\mathbb{R}^2$ est la somme entre le produit d’une matrice $M_2_,_2$ et du vecteur $X$ de degré 2 et d’un vecteur $B$ de degré 2 :

$X’=M \cdot X+B$ ou $\begin{pmatrix} x’_1\\ x’_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\end{pmatrix} $

  • Cas Général

Une transformation affine dans $\mathbb{R}^n$ est la somme entre le produit d’une matrice $M_m_,_n$ et du vecteur $X$ et d’un vecteur $B$ :

$X’=M \cdot X+B$ ou $\begin{pmatrix} x’_1\\ x’_2 \\ \vdots \\ x’_m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix} $

- Écriture sous forme de système d’équations linéaires

  • Dans le Plan

Une transformation affine dans $\mathbb{R}^2$ peut s’écrire sous la forme de système de 2 équations linéaires à 3 inconnus chacune :

$X’=\quad \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+b_2 \end{matrix}\right.$

  • Cas Général

Une transformation affine dans $\mathbb{R}^n$ peut s’écrire sous la forme de système de n équations linéaires à $n+1$ inconnus chacune :

$X’=\quad \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n+b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n+b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_n+b_m \end{matrix}\right.$

Résolution dans Mathematica

Pour effectuer une transformation affine à l’aide de Mathematica il est préférable d’utiliser la notation sous forme de système d’équations linéaires. Dans cet exemple nous allons faire une transformation affine d’un point dans le plan afin simplifier la démonstration :

  • Choisissons comme point initial $(x_1 ;x_2)$ et son image $(u_1 ;u_2)$ ainsi que les coefficients $a,b,c,d$. Nous pouvons ainsi écrire le système d’équations suivant :

$\quad \left\{\begin{matrix} ax_1+bx_2+e = u_1 \\ cx_1+dx_2+f = u_2 \end{matrix}\right.$

Ce système s’écrit dans Mathematica :

eq={u1 == a*x1 + b*x2+e, u2 == c*x1 + d*x2+f}
  • Grâce à la commande Solve on peut obtenir la solution générale de ce système, exemples :
    • sol=Solve[eq, {a, b, c, d, e, f}] si on cherche les coefficients
    • sol=Solve[eq, {x1,x2}] si on cherche les coordonnées initiales
    • sol=Solve[eq, {u1,u2}] si on cherche les coordonnées de l’image
  • Ensuite on peut substituer des valeurs afin d’obtenir des résultats numériques, exemples :
    • sol /. {x1 -> 2, x2 -> 0, u1 -> 0, u2 -> -2} si on cherche les coefficients
    • sol /. {u1 -> 8, u2 -> -6, a -> 0, b -> -7, c ->8, d ->-1, e-> 0, f ->4} si on cherche les coordonnées initiales
    • sol /. {x1 -> 2, x2 -> 0, a -> 0, b -> -7, c ->8, d->-1, e-> 0, f ->4 } si on cherche les coordonnées de l’image
  • À l’aide de la commande Show on peut représenter les points ainsi obtenus :
    • Show[Graphics[{Point[{x1, x2}], Point[u1,u2]}]

  • Remarque :
    • Dans cet exemple nous avons utilisé un point pour illustrer une transformation affine, mais il est préférable d’effectuer une transformation affine sur une série de points (par exemple trois afin d’obtenir un triangle) pour observer la notion de conservation des parallélismes.

Résolution par le Calcul Matriciel

  • Calcul de la matrice $X’$ : (des cordonnées de l’image)

Dans ce cas il suffit d’appliquer la formule de la transformation linéaire suivante et vue ci-dessus :

$X’=M \cdot X$

  • Calcul de la matrice $X$ (des cordonnées initiales)

Pour obtenir les cordonnées initiales il faut multiplier la matrice inverse de $M$ (c’est à dire $M^{-1}$) par la matrice $X’$ :

$X = M^{-1} \cdot X’$

  • Remarques :
    • On ne peut utiliser le calcul matriciel que pour les transformations affines dans le plan.
    • On ne peut pas obtenir les coefficients de transformation affine par le calcul matriciel !
    • Multiplication matricielle :
      On considère une matrice $A_{n,m}$ et une matrice $B_{m,p}$ alors le produit de ces deux matrices $C$ :

      $C=A \cdot B$ avec $c_{ik}=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+...a_{im}b_{mk}=\displaystyle { \sum_{j=1}^{m}} a_{ij} \cdot b_{jk}$

    • Matrice inverse d’une matrice carrée :
      Considérons une matrice $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ alors sa matrice inverse $A^{-1}$ :

      $A^{-1}=\frac{1}{Det(A)} \cdot \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$

Sources

  • Algèbre linéaire, Commission Romande de Mathématiques, éditions du Tricorne
  • Cours 4AMos 2009-2010

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