Polyèdres réguliers

Les 5 solides platoniciens
mardi 16 mai 2006
par  Laurent Progin, Ruben da Costa, Yannick Zillweger
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À l’aide de Mathematica, nous allons essayer de trouver le nombre de faces, de sommets et d’arêtes des solides platoniciens. Nous en tirerons par la suite une formule permettant de calculer ses données.

Après avoir effectué de nombreuses vérifications assez importantes, nous avons réussi à déterminer toutes les données demandées.
Mais avant de montrer le tableau nous allons vous montrer ces solides.

Voici les 5 solides platoniciens :

Les noms des polyèdres sont (de gauche à droite) :
- Tetraède
- Hexaèdre
- Octaèdre
- Dodecaèdre
- Icosaèdre

Voilà le tableau avec le nombre de faces, de sommets et d’arêtes des solides platoniciens.

Polyèdres sommets faces arêtes
tetraède 4 4 6
hexaèdre 8 6 12
octaèdre 6 8 12
dodecaèdre 20 12 30
icosaèdre 12 20 30

La formule que l’on peut tirer de ce tableau est :

$aretes=(sommets+faces)-2$

Voici la définition de la convexité :

« En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points A , B de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l’objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l’est pas. »

Voici la définition du polyèdre régulier :

Un polyèdre est dit régulier s’il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques.

Voici la définition des polyèdres platoniciens par rapport à celle de la convexité et du polyèdre régulier :

Les polyèdres platoniciens ont leurs faces qui sont toutes identiques (exemple : le tetraède a 4 triangles, l’hexaèdre a 6 carrés...) et régulières et leurs sommets sont aussi identiques et tout segment joignant une paire de points quelconques du polyèdre est entièrement contenu dans l’objet.


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