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Ressources pour les enseignants et les élèves du secondaire II.

Horlogerie
Couple d’un échappement Frainier
avec deux fenêtres d’impulsion par période
Article mis en ligne le 9 novembre 2025
dernière modification le 11 novembre 2025

par Bernard Chabloz, bernard.vuilleumier

Construction des fenêtres

La fonction tangente hyperbolique se prête bien à cette construction.

Si on fait la somme Tanh-Tanh, on trouve évidemment 0.

Mais si on décale un peu les deux tangentes, on obtient un « pulse ».

En utilisant cette somme de tangentes hyperboliques décalées et en introduisant les paramètres $s, c, w, \sigma$ qui permettent respectivement de placer le pulse sur l’axe, de positionner son centre, de définir sa largeur et de le lisser on obtient une fenêtre :

Voir le code de la figure en langage Wolfram (LW) [1]

Couple fenêtré

En utilisant ce type de fenêtre, on va pouvoir « filtrer » le couple. Celui-ci pourra agir lorsque la fenêtre sera ouverte. Dans un échappement Frainier, la fenêtre s’ouvre lorsque le doigt pousse le bras : une première fois lorsque la pendulette se déplace de gauche à droite L-R (demi-période) et une seconde fois lorsqu’elle revient de droite à gauche R-L.

L’observation du mécanisme montre que la poussée n’a pas lieu durant toute la demi-période, qu’elle peut se produire à des instants différents selon le mouvement L-R ou R-L et qu’elle peut être asymétrique. Il faut donc envisager un temps actif par demi période, l’instant où débute l’impulsion et l’asymétrie des impulsions.

Dans cette figure, les impulsions durent 5% du temps sur chaque demi-période. Elles agissent au quart de la période (4 secondes) lors du mouvement L-R et aux trois quarts lors du retour R-L.

Voir le code de la figure en LW [2]

Blocage de phase
L’idée est de verrouiller les fenêtres en phase sur les passages $\theta=0$. En résolvant numériquement l’équation du mouvement, ou « récolte » les valeurs suivantes :

  • half qui va servir à caler la durée des fenêtres d’impulsion sur la demi-oscillation réelle (phase-lock).
  • zc qui va servir d’origine de temps local pour placer précisément les fenêtres au bon moment.
  • br (branche) qui va servir d’interrupteur : il active la fenêtre du bon côté (L-R ou R-L).

Chaque fois que l’angle $\theta$ passe par zéro (le pendule traverse la verticale), on fait les mises à jour suivantes :

  • half[t] -> t - zc[t] calcule la demi-période mesurée : c’est le temps écoulé depuis le dernier passage au centre. On met half = t (maintenant) moins zc (instant du passage précédent.
  • zc[t] -> t. Mémorise l’instant courant t comme nouveau passage au centre (zéro de $\theta$).
  • br[t] -> Sign[$\theta’(t)$]. Détermine le sens de passage : si la vitesse angulaire $\theta’(t)$ est positive, br = +1 (gauche-droite) ; si elle est négative, br =-1 (droite-gauche).

C’est comme si à chaque passage par la verticale, on enclenchait un chronomètre et on mesurait la demi-période, puis qu’on remettait le chronomètre à zéro et qu’on notait le sens de passage du pendule.

En mode phase-lock, les impulsions suivent les variations de période de l’oscillation.

Géométrie pendulette - petit pendule

Schéma global.

Énergies cinétiques

$T_{0} = \tfrac{1}{2}\,I_{0}\,\dot{\theta}^{2}$

où $I_{0}$ est le moment d’inertie du pendule par rapport au pivot O. (On néglige la variation de ce moment d’inertie due au mouvement du petit pendule).

$T_{pp} = \tfrac{1}{2}\,m\, \big(-a\cos\theta\,\dot{\theta} + \lambda\cos(\phi+\theta)(\dot{\phi}+\dot{\theta}) + a\sin\theta\,\dot{\theta} - \lambda\sin(\phi+\theta)(\dot{\phi}+\dot{\theta})\big)^{2} + \tfrac{1}{2}\,I_{G}\,(\dot{\phi}+\dot{\theta})^{2}$

ce qui se simplifie en :

$T_{pp} = \tfrac{1}{2}m\big( a^{2}\dot{\theta}^{2} + \lambda^{2}(\dot{\phi}+\dot{\theta})^{2} - 2a\lambda\cos\phi\,(\dot{\phi}+\dot{\theta})\,\dot{\theta}\big) + \tfrac{1}{2}I_{G}(\dot{\phi}+\dot{\theta})^{2}$

où $I_{G}$ est le moment d’inertie propre du petit pendule et $m$ sa masse.

Énergie potentielle

$V = M g L(1 - \cos\theta) + m g (a\cos\theta - \lambda\cos(\phi+\theta) + \lambda - a) + k\,\alpha$

où $M$ est la masse totale et $k\,\alpha$ l’énergie potentielle du ressort (modèle à couple constant). On néglige la variation de $L$ due au mouvement du petit pendule.

Liaison : géométrie du petit pendule

$\dfrac{\sin\phi}{r} = \dfrac{\sin(\pi - (\pi - \alpha + \phi))}{s} ~;\Longrightarrow~; \sin\phi = \mu\,\sin(\alpha - \phi)$

où $\mu = \dfrac{r}{s} \approx 0.28125$ d’après la vidéo.

Si l’on choisit $\theta$ et $\alpha$ comme coordonnées généralisées, on exprime $\phi$ en fonction de $\alpha$ à partir de cette liaison :

$\dfrac{1}{\mu}\sin\phi = \sin\alpha\,\cos\phi - \cos\alpha\,\sin\phi ~;\Longrightarrow~; \sin\phi = \dfrac{\sin\alpha\,\cos\phi}{\,1/\mu + \cos\alpha\,}$

et donc :

$\tan\phi = \dfrac{\sin\alpha}{\,1/\mu + \cos\alpha\,},\qquad \dfrac{d}{d\alpha}\tan\phi = \dfrac{1/\mu\,\cos\alpha + 1}{(1/\mu + \cos\alpha)^{2}}$

Cette dérivée s’annule pour $\cos\alpha = -\mu$ (cas du triangle rectangle : $|\phi|$ maximum, bascule du doigt).

Remarque : pour cette valeur, $\tan\phi = \dfrac{\mu}{\sqrt{1-\mu^{2}}} \approx 0.2931$, soit $|\phi_{\max}| \approx 0.2851$ l’approximation $\tan\phi \approx \phi$ reste satisfaisante.

Lagrangien sans dissipation

$L = T_{0} + T_{pp} - V$