par Bernard Chabloz, bernard.vuilleumier
Construction des fenêtres
La fonction tangente hyperbolique se prête bien à cette construction.
Si on fait la somme Tanh-Tanh, on trouve évidemment 0.
Mais si on décale un peu les deux tangentes, on obtient un « pulse ».
En utilisant cette somme de tangentes hyperboliques décalées et en introduisant les paramètres $s, c, w, \sigma$ qui permettent respectivement de placer le pulse sur l’axe, de positionner son centre, de définir sa largeur et de le lisser on obtient une fenêtre :
Voir le code de la figure en langage Wolfram (LW) [1]
Couple fenêtré
En utilisant ce type de fenêtre, on va pouvoir « filtrer » le couple. Celui-ci pourra agir lorsque la fenêtre sera ouverte. Dans un échappement Frainier, la fenêtre s’ouvre lorsque le doigt pousse le bras : une première fois lorsque la pendulette se déplace de gauche à droite L-R (demi-période) et une seconde fois lorsqu’elle revient de droite à gauche R-L.
L’observation du mécanisme montre que la poussée n’a pas lieu durant toute la demi-période, qu’elle peut se produire à des instants différents selon le mouvement L-R ou R-L et qu’elle peut être asymétrique. Il faut donc envisager un temps actif par demi période, l’instant où débute l’impulsion et l’asymétrie des impulsions.
Voir le code de la figure en LW [2]
Blocage de phase
L’idée est de verrouiller les fenêtres en phase sur les passages $\theta=0$. En résolvant numériquement l’équation du mouvement, ou « récolte » les valeurs suivantes :
- half qui va servir à caler la durée des fenêtres d’impulsion sur la demi-oscillation réelle (phase-lock).
- zc qui va servir d’origine de temps local pour placer précisément les fenêtres au bon moment.
- br (branche) qui va servir d’interrupteur : il active la fenêtre du bon côté (L-R ou R-L).
Chaque fois que l’angle $\theta$ passe par zéro (le pendule traverse la verticale), on fait les mises à jour suivantes :
- half[t] -> t - zc[t] calcule la demi-période mesurée : c’est le temps écoulé depuis le dernier passage au centre. On met half = t (maintenant) moins zc (instant du passage précédent.
- zc[t] -> t. Mémorise l’instant courant t comme nouveau passage au centre (zéro de $\theta$).
- br[t] -> Sign[$\theta’(t)$]. Détermine le sens de passage : si la vitesse angulaire $\theta’(t)$ est positive, br = +1 (gauche-droite) ; si elle est négative, br =-1 (droite-gauche).
C’est comme si à chaque passage par la verticale, on enclenchait un chronomètre et on mesurait la demi-période, puis qu’on remettait le chronomètre à zéro et qu’on notait le sens de passage du pendule.
