Géométrie d'un échappement Frainier

Horlogerie

Géométrie d’un échappement Frainier

Lagrangien du dispositif

Article mis en ligne le 10 janvier 2026

dernière modification le 11 janvier 2026

par Bernard Chabloz

Géométrie pendulette - petit pendule

Lagrangien

Énergies cinétiques

$T_0=\dfrac12\,I_0\,\dot\theta^{\,2}$

où $I_0$ est le moment d’inertie du pendule par rapport au pivot $O$. On néglige la variation de ce moment d’inertie due au mouvement du petit pendule.

$ T_{\rm pp} =\dfrac12\,m\Big[\,\big(-a\cos\theta\,\dot\theta+\lambda\cos(\phi+\theta)\,(\dot\phi+\dot\theta)\big)^2 +\big(a\sin\theta\,\dot\theta-\lambda\sin(\phi+\theta)\,(\dot\phi+\dot\theta)\big)^2\,\Big] +\dfrac12\,I_G\,(\dot\phi+\dot\theta)^{2} $

En développant :

$ T_{\rm pp} =\dfrac12\,m\Big(\,a^2\dot\theta^{\,2} +\lambda^{2}(\dot\phi+\dot\theta)^{2} -2a\lambda\cos\phi\,(\dot\phi+\dot\theta)\dot\theta\,\Big) +\dfrac12\,I_G\,(\dot\phi+\dot\theta)^{2} $

où $I_G$ est le moment d’inertie propre du petit pendule, et $m$ sa masse.

Énergie potentielle

$ V = M g L\,(1-\cos\theta) + m g\Big(a\cos\theta-\lambda\cos(\phi+\theta)+\lambda-a\Big) + k\,\alpha $

où $M$ est la masse totale et $k\alpha$ l’énergie potentielle du ressort (modèle à couple constant). On néglige la variation de $L$ due au mouvement du petit pendule.

Liaison : géométrie du petit pendule

$ \frac{\sin\phi}{r}=\frac{\sin\big(\pi-(\pi-\alpha+\phi)\big)}{s} \qquad\Longrightarrow\qquad \sin\phi=\mu\,\sin(\alpha-\phi), \quad \mu=\frac{r}{s}\simeq 0.28125 $

Si on choisit $\theta$ et $\alpha$ comme coordonnées généralisées, on exprime $\phi$ en fonction de $\alpha$ à partir de cette liaison :

$ \frac{1}{\mu}\sin\phi =\sin\alpha\cos\phi-\cos\alpha\sin\phi $

On obtient :

$ \tan\phi=\frac{\sin\alpha}{\frac{1}{\mu}+\cos\alpha} =\frac{\mu\sin\alpha}{1+\mu\cos\alpha}$

Dérivée par rapport à $\alpha$ :

$ \frac{d}{d\alpha}\big(\tan\phi\big) =\frac{\frac{1}{\mu}\cos\alpha+1}{\left(\frac{1}{\mu}+\cos\alpha\right)^2} =\frac{\mu(\cos\alpha+\mu)}{(1+\mu\cos\alpha)^2}$

Elle s’annule lorsque $\cos\alpha=-\mu$ (cas du triangle rectangle, $|\phi|$ maximum, bascule du doigt).

Remarque
Pour cette valeur :

$ \tan\phi=\frac{\mu}{\sqrt{1-\mu^2}}\simeq 0.2931 \qquad |\phi_{\max}|\simeq 0.2851 $

donc l’approximation $\tan\phi\simeq \phi$ est assez bonne.

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