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Applications des mathématiques
Systèmes de fonctions itérées (IFS)
Trouver un attracteur

Trouver l’attracteur d’un système de fonctions itérées.

Article mis en ligne le 13 novembre 2007
dernière modification le 4 avril 2015

par Bernard Vuilleumier

Questions

- Question 1
Un système de fonctions est donné par :

\{u,v\}=\left\{a_ix+b_iy,c_ix+d_iy\right\}+\left\{e_i,f_i\right\}

i varie de 1 à 4. Définissez ces quatre fonctions en les appelant respectivement g1, g2, g3 et g4.

- Question 2
Appliquez ces fonctions sur les coordonnées des sommets d’un carré de côté 2 centré sur l’origine en utilisant les valeurs numériques suivantes :

\left(
\begin{array}{cc}
 a_1 & b_1 \\
 c_1 & d_1
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
 0.849 & 0.037 \\
 0.037 & 0.849
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
 e_1 \\
 f_1
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
 0.075 \\
 0.183
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{cc}
 a_2 & b_2 \\
 c_2 & d_2
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
 0.197 & -0.226 \\
 0.226 & 0.197
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
 e_2 \\
 f_2
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
 0.4 \\
 0.049
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{cc}
 a_3 & b_3 \\
 c_3 & d_3
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
 -0.15 & 0.283 \\
 0.26 & 0.237
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
 e_3 \\
 f_3
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
 0.575 \\
 -0.084
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{cc}
 a_4 & b_4 \\
 c_4 & d_4
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
 0 & 0 \\
 0 & 0.16
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
 e_4 \\
 f_4
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
 0.5 \\
 0
\end{array}
\right)

- Question 3
Fabriquez une fonction g permettant de tirer au hasard une des quatre fonctions g1, g2, g3 ou g4 et de l’appliquer sur un point (x, y).

- Question 4
Composez la fonction g avec elle même n fois en partant d’un point initial tiré au hasard et dessinez l’attracteur de ce système de fonctions itérées.