Applications des mathématiques
Systèmes de fonctions itérées (IFS)
Trouver un attracteur

Trouver l’attracteur d’un système de fonctions itérées.

Article mis en ligne le 13 novembre 2007
dernière modification le 4 avril 2015

par Bernard Vuilleumier

Questions

– Question 1
Un système de fonctions est donné par :

\{u,v\}=\left\{a_ix+b_iy,c_ix+d_iy\right\}+\left\{e_i,f_i\right\}

où i varie de 1 à 4. Définissez ces quatre fonctions en les appelant respectivement g1, g2, g3 et g4.

– Question 2
Appliquez ces fonctions sur les coordonnées des sommets d’un carré de côté 2 centré sur l’origine en utilisant les valeurs numériques suivantes :

\left( \begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0.849 & 0.037 \\ 0.037 & 0.849 \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} e_1 \\ f_1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0.075 \\ 0.183 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0.197 & -0.226 \\ 0.226 & 0.197 \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} e_2 \\ f_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0.4 \\ 0.049 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc} a_3 & b_3 \\ c_3 & d_3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} -0.15 & 0.283 \\ 0.26 & 0.237 \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} e_3 \\ f_3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0.575 \\ -0.084 \end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc} a_4 & b_4 \\ c_4 & d_4 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0.16 \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} e_4 \\ f_4 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0.5 \\ 0 \end{array} \right)

– Question 3
Fabriquez une fonction g permettant de tirer au hasard une des quatre fonctions g1, g2, g3 ou g4 et de l’appliquer sur un point (x, y).

– Question 4
Composez la fonction g avec elle même n fois en partant d’un point initial tiré au hasard et dessinez l’attracteur de ce système de fonctions itérées.