Dynamique du solide rigide
Couple de forces et vitesse angulaire
Effet d’un couple résistant sur la vitesse angulaire d’un gyroscope

Calcul de l’accélération angulaire et du nombre de tours effectués jusqu’à l’arrêt par un gyroscope soumis à un moment de couple résistant.

Article mis en ligne le 1er décembre 2005
dernière modification le 30 avril 2016

Lorsqu’un solide rigide en rotation est soumis à un couple constant, son accélération angulaire est aussi constante. Il en résulte que sa vitesse angulaire peut être représentée par une droite.

Exercice

Un petit gyroscope cylindrique de masse m=100 g et de 5 cm de rayon tourne autour de son axe à raison de 3600 tours par minute. Sachant qu’il s’arrête en 3 minutes sous l’action de résistances passives équivalentes à un couple que vous supposerez constant, calculez :
a) l’accélération angulaire ? du gyroscope ;
b) le moment M du couple résistant ;
c) le nombre n de tours effectués entre le début du ralentissement et l’arrêt.

Solutions

a) Comme le couple des résistances passives est constant, l’accélération angulaire est aussi constante. Elle vaut :

$\alpha=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}=\frac{\omega_{finale}-\omega_{initiale}}{\Delta t}=-\frac{2\pi}{3}$ rad/s2

b) Le moment du couple résistant est donné par $M=I\alpha$ où I est le moment d’inertie d’un cylindre :

$M=\frac{mr^2}{2}\alpha=-0.26\times10^{-3}$ Nm

c) La vitesse angulaire décroît linéairement. Si on reporte cette vitesse en fonction du temps, l’aire sous la droite donne l’angle θ en radian dont le gyroscope a tourné avant de s’arrêter :

${\theta}=\frac{\omega t}{2}=\pi\nu t$

Le nombre de tours s’obtient en divisant cet angle par 2π :

$n={\frac{\nu t}{2}}=5400$ tours