Champ : dynamique du solide rigide
 Documents autorisés : Tables numériques CRM. Calculette.

Énoncé

Un dispositif formé de deux sphères reliées par une tige horizontale peut tourner librement sans frottement autour d’un axe vertical.

Dispositif

Les deux sphères et la tige cylindrique qui les relie sont pleines. L’axe de rotation est un cylindre creux à paroi mince.

Question 1 (8 points)

1. Exprimez le moment d’inertie de chaque composant par rapport à l’axe.
2. Donnez l’expression du moment d’inertie total du dispositif.
3. Calculez ces moments d’inertie ainsi que le moment d’inertie total.

Question 2 (9 points)

On exerce un couple de force constant de moment $\mathcal{M}$ sur l’axe vertical du dispositif initialement immobile.

1. Exprimez l’accélération angulaire du dispositif.
2. Calculez cette accélération angulaire. [1]
3. Exprimez la vitesse angulaire $\omega$ en fonction du temps.
4. Calculez cette vitesse angulaire après 1 seconde.
5. Exprimez l’angle de rotation $\theta$ en fonction du temps.
6. Calculez l’angle décrit par le dispositif après 1 seconde.

Question 3 (8 points)

On associe un ressort spiral qui exerce un couple de rappel de moment $\mathcal{M}_{rappel}=-C\theta$ sur l’axe lorsqu’il a tourné d’un angle $\theta$. On écarte le dispositif d’un angle $\theta_{max}$ de sa position d’équilibre avant de livrer le système à lui-même.

1. Exprimez l’évolution de l’écart angulaire $\theta(t).$
2. Donnez la période d’oscillation du dispositif.
3. Calculez cette période pour $C=8.68 \times 10^{-3}$ Nm.
4. Exprimez la vitesse angulaire maximale $\omega_{max}$ du dispositif.
5. Calculez cette vitesse $\omega_{max}$ pour une amplitude angulaire $\theta_{max}$=90°.

Oscillations harmoniques

La période d’oscillation est donnée par $T=2\pi\sqrt{\frac{I}{C}}$ où I est le moment d’inertie du dispositif et C la constante du couple de rappel.

Données numériques
 rayon des sphères $r_s=2$ cm
 masse volumique des sphères $\rho_s=7.86$ g/cm³
 longueur de la tige reliant les deux sphères $2{h}=10$ cm
 masse volumique de la tige $\rho_{tige}=7.1$ g/cm³
 masse de l’axe de rotation $m_{axe}=300$ g
 rayon de la tige et rayon de l’axe $r= 3$ mm
 moment du couple exercé sur l’axe $\mathcal{M}=2 \times 10^{-3}$ Nm