Questions sur la rotation de solides rigides autour d’un axe fixe.
Champ : dynamique du solide rigide
Documents autorisés : Tables numériques CRM. Calculette.
Énoncé
Un dispositif formé de deux sphères reliées par une tige horizontale peut tourner librement sans frottement autour d’un axe vertical.
- Dispositif
- Les deux sphères et la tige cylindrique qui les relie sont pleines. L’axe de rotation est un cylindre creux à paroi mince.
Question 1 (8 points)
- Exprimez le moment d’inertie de chaque composant par rapport à l’axe.
- Donnez l’expression du moment d’inertie total du dispositif.
- Calculez ces moments d’inertie ainsi que le moment d’inertie total.
Question 2 (9 points)
On exerce un couple de force constant de moment $\mathcal{M}$ sur l’axe vertical du dispositif initialement immobile.
- Exprimez l’accélération angulaire du dispositif.
- Calculez cette accélération angulaire. [1]
- Exprimez la vitesse angulaire $\omega$ en fonction du temps.
- Calculez cette vitesse angulaire après 1 seconde.
- Exprimez l’angle de rotation $\theta$ en fonction du temps.
- Calculez l’angle décrit par le dispositif après 1 seconde.
Question 3 (8 points)
On associe un ressort spiral qui exerce un couple de rappel de moment $\mathcal{M}_{rappel}=-C\theta$ sur l’axe lorsqu’il a tourné d’un angle $\theta$. On écarte le dispositif d’un angle $\theta_{max}$ de sa position d’équilibre avant de livrer le système à lui-même.
- Exprimez l’évolution de l’écart angulaire $\theta(t).$
- Donnez la période d’oscillation du dispositif.
- Calculez cette période pour $C=8.68 \times 10^{-3}$ Nm.
- Exprimez la vitesse angulaire maximale $\omega_{max}$ du dispositif.
- Calculez cette vitesse $\omega_{max}$ pour une amplitude angulaire $\theta_{max}$=90°.
Données numériques
rayon des sphères $r_s=2$ cm
masse volumique des sphères $\rho_s=7.86$ g/cm3
longueur de la tige reliant les deux sphères $2{h}=10$ cm
masse volumique de la tige $\rho_{tige}=7.1$ g/cm3
masse de l’axe de rotation $m_{axe}=300$ g
rayon de la tige et rayon de l’axe $r= 3$ mm
moment du couple exercé sur l’axe $\mathcal{M}=2 \times 10^{-3}$ Nm