Les équations différentielles décrivant les oscillations d’un circuit électrique constitué d’une bobine, d’un condensateur et d’une résistance en série et d’un oscillateur harmonique mécanique sont établies à partir du principe de conservation de l’énergie.
La décharge d’un condensateur de capacité C sur une bobine d’inductance L en série avec une résistance R est un phénomène où intervient un renversement périodique du courant analogue à la vibration mécanique d’un oscillateur harmonique. Le principe de conservation de l’énergie permet de traiter en parallèle les deux oscillateurs. Si W est l’énergie totale contenue dans chaque système - sous forme électrique et magnétique pour l’oscillateur électrique, potentielle et cinétique pour l’oscillateur mécanique - il suffit d’exprimer que la variation d’énergie au cours du temps est égale à l’énergie dissipée par les frottements pour obtenir les équations différentielles de ces deux systèmes.
– Oscillateur mécanique
Considérons un oscillateur harmonique constitué d’une masse m accrochée à un ressort de raideur k. Désignons par x l’écart entre la position d’équilibre et la position de la masse. La force de rappel exercée par le ressort sur la masse vaut alors :
L’énergie potentielle élastique du ressort est donnée par :
Et l’énergie cinétique de la masse par :
L’énergie totale de l’oscillateur harmonique mécanique vaut donc :
Si l’oscillateur est soumis à une force de frottement dont la grandeur est proportionnelle à la vitesse :
L’énergie dissipée par unité de temps vaudra :
L’équation différentielle de l’oscillateur mécanique s’obtient en égalant la variation d’énergie totale à la dissipation d’énergie :
– Oscillateur électrique
Dans un circuit électrique constitué d’une bobine d’inductance L, d’un condensateur de capacité C et d’une résistance R en série, c’est l’inductance L qui joue le rôle de la masse et c’est l’inverse de la capacité qui correspond à la raideur du ressort k. La charge Q portée par le condensateur correspond à l’écart par rapport à l’équilibre. Cette correspondance permet d’exprimer l’énergie potentielle électrique du condensateur :
Ainsi que l’énergie magnétique dans la bobine :
L’énergie totale de l’oscillateur électrique vaut donc :
Si le condensateur se décharge à travers une résistance R, la dissipation d’énergie (effet Joule) par unité de temps vaudra :
L’équation différentielle de l’oscillateur électrique s’obtient en égalant la variation d’énergie totale à la dissipation d’énergie :
En simplifiant et en regroupant tous les termes dans le même membre, nous obtenons finalement les équations différentielles suivantes :
Cas mécanique | Cas électrique | |
---|---|---|
Énergie totale | ![]() |
![]() |
Variation | ![]() |
![]() |
Dissipation | ![]() |
![]() |
Équation différentielle | ![]() |
![]() |
Activités
– Résolvez symboliquement ces équations à l’aide de Mathematica.
– Dessinez les cartes Stella correspondant à ces équations.
– Intégrez numériquement ces équations.
Oscillateur mécanique | Oscillateur électrique |
---|---|
m=1 kg | L=10 Hy |
μ=0.1 kg/s | R=10 Ω |
k=20 N/m | C=10 μF |
x0=0.2 m | Q0=1 mC |
v0=0 m/s | I0 =0 A |
– Représentez graphiquement en fonction du temps :
- la position et la vitesse pour l’oscillateur mécanique
- la charge et le courant pour l’oscillateur électrique.
– Donnez la période d’oscillation dans chaque cas.