Circuit électrique et oscillateur harmonique

Principe de conservation de l’énergie

Équations différentielles décrivant des oscillations amorties

Les équations différentielles décrivant les oscillations d’un circuit électrique constitué d’une bobine, d’un condensateur et d’une résistance en série et d’un oscillateur harmonique mécanique sont établies à partir du principe de conservation de l’énergie.

Article mis en ligne le 21 mai 2006

dernière modification le 18 juin 2013

par Bernard Vuilleumier

La décharge d’un condensateur de capacité C sur une bobine d’inductance L en série avec une résistance R est un phénomène où intervient un renversement périodique du courant analogue à la vibration mécanique d’un oscillateur harmonique. Le principe de conservation de l’énergie permet de traiter en parallèle les deux oscillateurs. Si W est l’énergie totale contenue dans chaque système - sous forme électrique et magnétique pour l’oscillateur électrique, potentielle et cinétique pour l’oscillateur mécanique - il suffit d’exprimer que la variation d’énergie au cours du temps est égale à l’énergie dissipée par les frottements pour obtenir les équations différentielles de ces deux systèmes.

Series RLC Circuits from the Wolfram Demonstrations Project by S. M. Blinder

– Oscillateur mécanique

Considérons un oscillateur harmonique constitué d’une masse m accrochée à un ressort de raideur k. Désignons par x l’écart entre la position d’équilibre et la position de la masse. La force de rappel exercée par le ressort sur la masse vaut alors :

$\vec{F}=-k\vec{x}$

L’énergie potentielle élastique du ressort est donnée par :

$E_{pot}=\frac{1}{2}k x^2$

Et l’énergie cinétique de la masse par :

$E_{cin}=\frac{1}{2}m \dot{x}^2$

L’énergie totale de l’oscillateur harmonique mécanique vaut donc :

$W=\frac{1}{2}k x^2+\frac{1}{2}m \dot{x}^2$

Si l’oscillateur est soumis à une force de frottement dont la grandeur est proportionnelle à la vitesse :

$F_{frott}=\mu\frac{dx}{dt}$

L’énergie dissipée par unité de temps vaudra :

$\frac{dW}{dt}=-F_{frott}\frac{dx}{dt}=-\mu\dot{x}\dot{x}$

L’équation différentielle de l’oscillateur mécanique s’obtient en égalant la variation d’énergie totale à la dissipation d’énergie :

$\frac{dW}{dt}=k x\dot{x}+m\dot{x}\ddot{x}=-\mu\dot{x}\dot{x}$

– Oscillateur électrique

Dans un circuit électrique constitué d’une bobine d’inductance L, d’un condensateur de capacité C et d’une résistance R en série, c’est l’inductance L qui joue le rôle de la masse et c’est l’inverse de la capacité $\frac{1}{C}$ qui correspond à la raideur du ressort k. La charge Q portée par le condensateur correspond à l’écart par rapport à l’équilibre. Cette correspondance permet d’exprimer l’énergie potentielle électrique du condensateur :

$E_{\acute{e}lectrique}=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$

Ainsi que l’énergie magnétique dans la bobine :

$E_{magn\acute{e}tique}=\frac{1}{2}L\dot{Q}^2$

L’énergie totale de l’oscillateur électrique vaut donc :

$W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}+\frac{1}{2}L\dot{Q}^2$

Si le condensateur se décharge à travers une résistance R, la dissipation d’énergie (effet Joule) par unité de temps vaudra :

$\frac{dW}{dt}=-R I^2=-R\dot{Q}^2$

L’équation différentielle de l’oscillateur électrique s’obtient en égalant la variation d’énergie totale à la dissipation d’énergie :

$\frac{dW}{dt}=\frac{1}{C}Q\dot{Q}+L\dot{Q}\ddot{Q}=-R\dot{Q}^2$

En simplifiant et en regroupant tous les termes dans le même membre, nous obtenons finalement les équations différentielles suivantes :

	Cas mécanique	Cas électrique
Énergie totale	$W=\frac{1}{2}k x^2+\frac{1}{2}m \dot{x}^2$	$W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}+\frac{1}{2}L\dot{Q}^2$
Variation	$\frac{dW}{dt}=k x\dot{x}+m\dot{x}\ddot{x}$	$\frac{dW}{dt}=\frac{1}{C}Q\dot{Q}+L\dot{Q}\ddot{Q}$
Dissipation	$\frac{dW}{dt}=-\mu\dot{x}\dot{x}$	$\frac{dW}{dt}=-R\dot{Q}^2$
Équation différentielle	$m\ddot{x}+\mu\dot{x}+k x=0$	$L\ddot{Q}+R\dot{Q}+\frac{1}{C} Q=0$

Activités
– Résolvez symboliquement ces équations à l’aide de Mathematica.
– Dessinez les cartes Stella correspondant à ces équations.
– Intégrez numériquement ces équations.

Oscillateur mécanique	Oscillateur électrique
m=1 kg	L=10 Hy
μ=0.1 kg/s	R=10 Ω
k=20 N/m	C=10 μF
x₀=0.2 m	Q₀=1 mC
v₀=0 m/s	I₀=0 A

– Représentez graphiquement en fonction du temps :

la position et la vitesse pour l’oscillateur mécanique
la charge et le courant pour l’oscillateur électrique.

– Donnez la période d’oscillation dans chaque cas.

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