Relativité restreinte
Exercices sur les effets et l’énergie relativistes
Contraction des longueurs et dilatation du temps

Six exercices sur la relativité restreinte.

Article mis en ligne le 4 décembre 2007
dernière modification le 8 novembre 2017

par Bernard Vuilleumier


Exercice 1

– a) Si l_0 est la longueur d’une règle 1 m dans \Sigma :

  • l_0’ est inférieure à 1 m dans \Sigma’ Vrai ou faux ?
  • l_0’ est égale à 1 m dans \Sigma’ Vrai ou faux ?
  • l_0’ est supérieure à 1 m dans \Sigma’ Vrai ou faux ?
Indication : Les extrémités des flèches se trouvent sur les hyperboles d’équations t2-x2=1 et x2-t2=1.

– b) Si t_0 est une durée de 1 seconde dans \Sigma :

  • t_0’ est inférieure à 1 s dans \Sigma’ Vrai ou faux ?
  • t_0’ est égale à 1 s dans \Sigma’ Vrai ou faux ?
  • t_0’ est supérieure à 1 s dans \Sigma’ Vrai ou faux ?

– c) Illustrez par une construction géométrique le fait qu’un observateur de \Sigma mesurant la longueur d’une règle en translation à la vitesse \beta arrive à la même conclusion qu’un observateur de \Sigma’ en translation à la vitesse \beta mesurant la longueur d’une règle au repos.
– d) Illustrez par une construction géométrique le fait qu’un observateur de \Sigma mesurant la durée séparant deux événements qui se produisent au même endroit dans \Sigma’ en translation à la vitesse \beta arrive à la même conclusion qu’un observateur de \Sigma’ mesurant la durée séparant deux événements qui se produisent au même endroit dans \Sigma.


Exercice 2
Sous l’effet du rayonnement cosmique, une particule prend naissance dans les hautes couches de l’atmosphère et se déplace en direction de la Terre à une vitesse v=0.8 c avant de se désintégrer. Sa durée de vie propre vaut τ=2,6 × 10-8 s.
– a) Construisez la ligne d’univers de cette particule sur un diagramme d’espace-temps attaché à la Terre et calculez sa durée de vie observée depuis la Terre.
– b) Calculez la distance que cette particule franchit dans l’atmosphère entre l’instant de sa création et celui de sa désintégration.


Exercice 3
Un proton se déplace à la vitesse β. Exprimez, puis calculez pourβ=0.987 :
– a) son énergie de masse
– b) son énergie cinétique
– c) son énergie totale.


Exercice 4
Des particules de charge q et de masse m sont accélérées par une tension U.
– a) Exprimez la vitesse de ces particules en fonction de la tension d’accélération et du rapport q/m dans le cadre de la physique classique et dans le cadre de la physique relativiste.
– b) Calculez ces vitesses pour des électrons lorsque U=10000 V ainsi que l’écart relatif entre prédiction classique et relativiste.

Indication : écart relatif en % = 100 ×\frac{v_{classique}-v_{relativiste}}{v_{classique}}


Exercice 5
Une particule instable de masse m se désintègre en deux fragments qui s’éloignent respectivement aux vitesses \beta_1 et \beta_2. Exprimez les masses de ces fragments en fonction de m, \beta_1 et \beta_2, puis calculez ces masses pour m=3.67×10-27 kg, \beta_1=-0.772 et \beta_2=0.983.


Exercice 6

Indication : Les flèches sont des vecteurs unités.

A partir des diagrammes d’espace-temps (x, t) et (x’, t’) ci-dessus, donnez :
– a) la vitesse de translation \beta_r des deux systèmes et indiquez son sens dans \Sigma et dans \Sigma’.
– b) la vitesse dans \Sigma d’une particule animée d’une vitesse \beta’=0.8 selon Ox’ dans \Sigma’.
– c) les coordonnées des événements B et D dans chacun des systèmes.
– d) les intervalles AD et AE dans les deux systèmes.
– e) Quels sont les événements simultanés dans \Sigma ? Et dans \Sigma’ ?
– f) Quels sont les événements qui se produisent au même endroit dans \Sigma ? Et dans \Sigma’ ?
– g) A quelle vitesse \Sigma’ devrait-il se déplacer selon Ox pour que les événements A et B soient simultanés dans \Sigma’ ?
– h) A quelle vitesse \Sigma’ devrait-il se déplacer selon Ox pour que les événements A et E se produisent au même endroit dans \Sigma’ ?

Vrai ou faux ?

– A peut causer C
– A peut causer D
– A peut causer E
– B peut causer C
– B peut causer F
– B peut causer A


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