Électromagnétisme
Loi de Biot et Savart
Champ magnétique créé par une boucle de courant

Illustration de la loi de Biot et Savart : champ magnétique produit par une spire de courant en un point de son axe.

Article mis en ligne le 28 avril 2016
dernière modification le 27 novembre 2017

par Bernard Vuilleumier

Pour calculer le champ magnétique produit par des bobines de Helmholtz, nous partons de la formule de Biot-Savart qui ramène formellement le calcul de \vec{B} à la sommation vectorielle des champs d\vec{B} produits par des éléments de courant Id\vec{s}. Cette formule donne les éléments de vecteur d\vec{B} correspondant aux différentes portions du conducteur. Par addition vectorielle de ces éléments, on obtient le champ \vec{B} au point P.

d\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{d\vec{s}\times\vec{r}}{r^3}

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Champ résultant au point \vec{B}

Considérons un conducteur en forme de spire parcouru par une courant I. Dessinons les éléments de vecteur d\vec{B} en un point de l’axe de cette spire. Ces éléments sont produits par les différentes portions du conducteur. Formons le champ \vec{B} résultant en additionnant vectoriellement ces éléments

Champ \vec{B} créé par une bobine plate sur son axe

Pour un conducteur en forme de boucle, l’angle entre d \vec s et \vec r est un angle droit. La grandeur de d \vec B vaut donc :

\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{ds}{{r}^2}

Seule la composante selon Ox contribue au champ \vec{B} (par symétrie, les composantes selon Oy et Oz s’annulent). Exprimons la composante de d \vec{B} selon Ox :

dB_x={dB sin\alpha=dB\frac{R_{bobine}}{r}}={\frac{\mu_0 I R_{bobine}}{4\pi}\frac{ds}{{r}^3}}

En additionnant toutes les portions ds du conducteur (intégrale de ds sur la boucle) on obtient la circonférence 2 \pi R_{bobine} de la boucle. La grandeur du champ résultant \vec {B} vaut donc, si la bobine comporte N spires :

B=\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{{r}^3}

En exprimant r à l’aide de R_{bobine} et de x, on obtient :

r={\sqrt{R^2_{bobine}+x^2}}

B={\frac{\mu_0 N I}{2}\frac{R^2_{bobine}}{(R^2_{bobine}+x^2)^\frac{3}{2}}}