Équations différentielles
Résoudre une équation différentielle
Résolution symbolique et numérique d’équations différentielles

Résolution symbolique et numérique d’équations différentielles ordinaires. Conditions initiales et valeurs aux limites. Représentation graphique des solutions.

Article mis en ligne le 8 janvier 2007
dernière modification le 18 juin 2013

- Champ
- Documents autorisés : Ordinateur, logiciels, zone personnelle.
- Lundi 8 janvier 2007, 13h25, CECNB salle B1, 95 min.
- Moyenne de classe : 4.38
- Écart type : 0.90
- Effectif : N=16 (1 absent)


Problème 1

a) Donnez la solution générale de l’équation :

\frac{dy}{dx}=e^{-y} Cos^2(\pi x)

b) Sachant qu’en x=0, y=ln(e), dessinez la solution pour 0\le x \le\pi.


Problème 2

a) Donnez la solution de l’équation :

y’=2x^2-\frac{y}{x}

satisfaisant la condition initiale y(1)=3.

b) Représentez graphiquement cette solution pour -4 \le x \le 4.


Problème 3

a) Donnez la solution générale de l’équation :

\ddot x + x = 0

b) Déterminez la valeur des constantes d’intégration sachant qu’en t=0, x=1 et \dot x =2.

c) Dessinez la solution satisfaisant ces conditions pour t variant de 0 à 2\pi.

d) Dessinez, pour t variant de 0 à 2\pi, la solution correspondant aux valeurs aux limites x(0)=1 et x(\frac{\pi}{2})=0.


Problème 4

a) Établissez l’équation du mouvement sans frottement d’un pendule à partir d’un schéma sur lequel vous indiquerez toutes les forces qui agissent. Donnez les lois et relations utilisées. Expliquez votre démarche.

b) Lorsque le pendule est soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse angulaire \frac{d\theta}{dt} = \dot \theta , l’équation du mouvement est donnée par :

\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{d\theta}{dt}+sin(\theta) = 0

Résolvez numériquement cette équation sachant qu’en t=0, la vitesse angulaire \dot\theta du pendule est nulle et qu’il forme un angle \theta de \frac{\pi}{4} avec la verticale.

c) Dessinez la solution \theta(t) pour t variant de 0 à 10.


Problème 5

a) Résolvez numériquement le système d’équations :

\dot x=1+x^2y-3.5x

\dot y=2.5x-x^2y

avec les conditions initiales x(0)=0 et y(0)=0.

b) Dessinez la solution pour t variant de 0 et 10.

c) Faites varier x(0) de 0 à 3 par pas de 1 pour y(0)=0 et représentez toutes les solutions sur le même graphique.