Relativité
Transformation de Lorentz exprimée à l’aide de fonctions hyperboliques
« Rotation » dans un espace hyperbolique

La transformation de Lorentz peut s’exprimer à l’aide d’une matrice similaire à une matrice de rotation dans l’espace euclidien et s’interpréter comme une « rotation » dans un espace hyperbolique.

Article mis en ligne le 3 novembre 2005
dernière modification le 8 novembre 2017

La transformation de Lorentz est une transformation linéaire qui peut s’exprimer à l’aide d’une matrice qui laisse invariant l’intervalle. On peut la comparer à une matrice de rotation qui conserve la distance entre deux points.

En consultant la page « Fonctions hyperboliques » de l’ouvrage Formulaires et Tables CRM, vous trouvez, entre autres, les relations suivantes :

sinh x = ( tanh x)/(1 - tanh^2x)^(1/2) et cosh x = 1/(1 - tanh^2x)^(1/2)

En posant tanh x = β, vous obtenez :

sinh x = ?/(1 - ?^2)^(1/2) et cosh x = 1/(1 - ?^2)^(1/2)

Les matrices suivantes sont alors équivalentes :

[Graphics:local/cache-vignettes/L141xH83/311_5-15fbd.gif?1578409837]

[Graphics:local/cache-vignettes/L121xH41/311_6-874e4.gif?1578409837]

En remplaçant x par θ vous obtenez tanh θ = β, et :

[Graphics:local/cache-vignettes/L122xH44/311_7-049a0.gif?1578409837]

cqfd.