Systèmes dynamiques
Sensibilité aux conditions initiales
Fonctions quadratiques

Illustration de la sensibilité aux conditions initiales par itération d’une fonction quadratique.

Article mis en ligne le 23 octobre 2005
dernière modification le 8 mai 2007

par Bernard Vuilleumier

L’animation donne une interprétation géométrique de la composition réitérée d’une fonction quadratique avec elle-même. Elle met en parallèle deux évolutions partant de conditions initiales très voisines et aboutissant à des points très éloignés.

Comparaison de deux évolutions
L’orbite obtenue par itération d’une fonction quadratique est sensible aux conditions initiales.

 

Activités proposées

La parabole qui coupe l’axe Ox en 0 et en 1 et dont l’ordonnée du sommet est également comprise entre 0 et 1 selon la valeur du paramètre r, est définie par la fonction f(x) = rx(1-x). Lorsqu’une fonction est composée n fois avec elle-même on dit qu’elle est itérée n fois.
- Observez attentivement l’animation et expliquez comment on peut composer graphiquement la parabole avec elle-même plusieurs fois de suite.
- Combien de fois la parabole est-elle itérée dans l’animation ?
- Calculez la suite des valeurs obtenues lorsque r = 4 en partant de :

  1. x = 0.24
  2. x = 0.241

- Établissez les graphiques donnant ces valeurs en fonction de n.