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Le jeu du chaos

bernard.vuilleumier — 2026-02-28T16:52:23Z

Pour jouer à ce jeu, il vous faut une feuille de papier, un crayon, une règle graduée et un dé. Dessinez un triangle équilatéral sur la feuille de papier et numérotez les sommets de 1 à 3. Choisissez arbitrairement un point $P_0$ sur votre feuille ; tirez au hasard (à l'aide du dé par exemple) un des sommets du triangle ; reliez $P_0$ à ce sommet et placez, au milieu du segment ainsi obtenu, le point $P_1$. Tirez au hasard un des sommets du triangle ; reliez $P_1$ à ce sommet et placez, au milieu du segment ainsi obtenu, le point $P_2$ ; etc. Ceux qui voudraient utiliser un ordinateur pour obtenir plus de points avant de se lasser peuvent définir la séquence de points $P_1$, …, $P_n$ en répétant n fois les instructions suivantes :

– tirer au hasard un des sommets du triangle ;
– relier le point courant $P_n$ à ce sommet (après le premier tirage, le point courant est $P_0$ ;
– placer au milieu du segment ainsi obtenu le point $P_{n+1}$ qui devient le nouveau point courant ;
– répéter les opérations ci-dessus.

Voir aussi : Chaos from the Wolfram Demonstrations Project.

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Approche intuitive de la notion de tenseur

bernard.vuilleumier, ChatGPT — 2026-02-08T15:36:37Z

L'idée clé à faire passer

Un tenseur n'est pas un objet compliqué, c'est une règle qui décrit comment une grandeur physique dépend de la direction et du point de vue. Autrement dit : comment une mesure change quand on change d'orientation ou de repère.

Du nombre au vecteur : un premier pas naturel

Grandeurs caractérisées par un nombre (scalaire). Exemple : température, masse, énergie.
– Une valeur, quel que soit le point de vue. 20 degrés reste 20 degrés que l'on regarde la pièce de face ou de côté.

Grandeurs caractérisées par un vecteur. Exemple : vitesse, force, champ électrique.
– Une intensité et une direction. La vitesse d'un vélo dépend de combien il va vite et dans quelle direction. Changer de repère change les composantes, mais l'objet physique reste le même.

Quand le vecteur ne suffit plus
Imaginons un matériau comme une éponge, du bois ou un cristal. On tire dessus :
– dans une direction, ça s'allonge facilement
– dans une autre, ça résiste.
La réponse dépend de la direction de l'effort. Un simple vecteur ne suffit donc plus. Il faut quelque chose qui dise : « Si je tire dans telle direction, voici la réponse. Si je tire dans telle autre, voici la réponse ». C'est exactement ce que fait un tenseur.

Image mentale simple : la machine à directions
Un tenseur, c'est comme une boîte :
– entrée : une ou plusieurs directions
– sortie : une grandeur mesurable.

Exemples concrets :

Situation	Entrée	Sortie
Élasticité	direction de l'effort	déformation
Diffusion thermique	direction du flux	variation de température
Gravitation	déplacement	variation de distance

Le tenseur dit comment la sortie dépend de l'entrée.

Pourquoi pas juste un tableau de nombres
Parce que le tableau change quand on tourne le repère, alors que le phénomène physique ne change pas.

Idée essentielle
Le tenseur est l'objet invariant, le tableau n'est qu'une représentation.

Comme :
– une mélodie (objet)
– écrite dans une tonalité ou une autre (représentation)

Exemple parlant : la météo
– Température : scalaire
– Vent : vecteur
– Déformation de l'air (cisaillement, tourbillons) : tenseur.
Deux vents de même intensité peuvent produire des effets très différents selon leur orientation relative.

Le cas de l'électromagnétisme (sans équations)
Dans l'électromagnétisme relativiste :
– électricité et magnétisme ne sont pas séparés
– ce que l'on appelle champ électrique ou champ magnétique dépend du mouvement de l'observateur

Le tenseur électromagnétique est l'objet :
– unique
– indépendant du point de vue
– qui contient les deux.

Une phrase à retenir (et à transmettre)
Un tenseur est une loi de réponse géométrique : il relie directions, mesures et points de vue, sans dépendre du repère choisi.

Ce qu'il ne faut surtout pas dire à un non-spécialiste
– « C'est un tableau de nombres »
– « C'est une matrice compliquée »
– « C'est pour les mathématiques avancées ».

Dites plutôt :
« C'est l'outil minimum pour décrire des phénomènes qui dépendent de la direction. »

Visualiser des données 3D

bernard.vuilleumier — 2026-01-30T11:04:06Z

Créer des images à partir de données numériques est un problème qui revêt une grande importance pour tous ceux qui utilisent un ordinateur. Les logiciels disponibles pour réaliser cette tâche sont de plus en plus nombreux et certains offrent de remarquables possibilités. Pour parler de visualisation de données numériques, il est nécessaire de développer un système de classification. Une caractéristique de base d'un ensemble de données est sa dimension, c'est-à-dire le nombre d'item que comprend chaque donnée. Par exemple un ensemble de points sur une droite a la dimension 1, un ensemble de points sur un plan la dimension 2 et un ensemble de points dans l'espace la dimension 3. Une autre caractéristique est le nombre de variables indépendantes et le nombre de variables dépendantes d'une donnée. Les ensembles de données de dimension 3 par exemple qui possèdent une variable indépendante sont bien représentés par une courbe, alors qu'une surface est plus appropriée pour ceux à deux variables indépendantes.

Voir aussi : 3D Graphics from the Wolfram Demonstrations Project.

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Géométrie d'un échappement Frainier

Bernard Chabloz — 2026-01-10T14:22:37Z

Géométrie pendulette - petit pendule

Schéma global.

Lagrangien

Énergies cinétiques

$T_0=\dfrac12\,I_0\,\dot\theta^{\,2}$

où $I_0$ est le moment d'inertie du pendule par rapport au pivot $O$. On néglige la variation de ce moment d'inertie due au mouvement du petit pendule.

$ T_{\rm pp} =\dfrac12\,m\Big[\,\big(-a\cos\theta\,\dot\theta+\lambda\cos(\phi+\theta)\,(\dot\phi+\dot\theta)\big)^2 +\big(a\sin\theta\,\dot\theta-\lambda\sin(\phi+\theta)\,(\dot\phi+\dot\theta)\big)^2\,\Big] +\dfrac12\,I_G\,(\dot\phi+\dot\theta)^{2} $

En développant :

$ T_{\rm pp} =\dfrac12\,m\Big(\,a^2\dot\theta^{\,2} +\lambda^{2}(\dot\phi+\dot\theta)^{2} -2a\lambda\cos\phi\,(\dot\phi+\dot\theta)\dot\theta\,\Big) +\dfrac12\,I_G\,(\dot\phi+\dot\theta)^{2} $

où $I_G$ est le moment d'inertie propre du petit pendule, et $m$ sa masse.

Énergie potentielle

$ V = M g L\,(1-\cos\theta) + m g\Big(a\cos\theta-\lambda\cos(\phi+\theta)+\lambda-a\Big) + k\,\alpha $

où $M$ est la masse totale et $k\alpha$ l'énergie potentielle du ressort (modèle à couple constant). On néglige la variation de $L$ due au mouvement du petit pendule.

Liaison : géométrie du petit pendule

$ \frac{\sin\phi}{r}=\frac{\sin\big(\pi-(\pi-\alpha+\phi)\big)}{s} \qquad\Longrightarrow\qquad \sin\phi=\mu\,\sin(\alpha-\phi), \quad \mu=\frac{r}{s}\simeq 0.28125 $

Si on choisit $\theta$ et $\alpha$ comme coordonnées généralisées, on exprime $\phi$ en fonction de $\alpha$ à partir de cette liaison :

$ \frac{1}{\mu}\sin\phi =\sin\alpha\cos\phi-\cos\alpha\sin\phi $

On obtient :

$ \tan\phi=\frac{\sin\alpha}{\frac{1}{\mu}+\cos\alpha} =\frac{\mu\sin\alpha}{1+\mu\cos\alpha}$

Dérivée par rapport à $\alpha$ :

$ \frac{d}{d\alpha}\big(\tan\phi\big) =\frac{\frac{1}{\mu}\cos\alpha+1}{\left(\frac{1}{\mu}+\cos\alpha\right)^2} =\frac{\mu(\cos\alpha+\mu)}{(1+\mu\cos\alpha)^2}$

Elle s'annule lorsque $\cos\alpha=-\mu$ (cas du triangle rectangle, $|\phi|$ maximum, bascule du doigt).

Remarque
Pour cette valeur :

$ \tan\phi=\frac{\mu}{\sqrt{1-\mu^2}}\simeq 0.2931 \qquad |\phi_{\max}|\simeq 0.2851 $

donc l'approximation $\tan\phi\simeq \phi$ est assez bonne.

Audition et illusions

bernard.vuilleumier — 2026-01-05T10:49:01Z

L'audition est une relation de caractère subjectif entre l'excitation acoustique et la sensation physiologique. L'audition biauriculaire permet de localiser dans une certaine mesure les sources sonores et crée une impression de relief acoustique. L'oreille est sensible aux effets de masque : les diverses fréquences perçues simultanément se masquent plus ou moins les unes les autres et peuvent même créer, dans certaines conditions, des fréquences nouvelles (non linéarité de l'oreille).

Voir aussi : Shepard Tones from The Wolfram Demonstrations Project.

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« J'ai moi aussi une théorie »

bernard.vuilleumier, ChatGPT — 2025-12-12T14:12:24Z

Wolfram constate qu'il reçoit de nombreuses « théories de l'univers » venues d'amateurs, souvent générées ou aidées par l'IA, mais qui restent en dehors du cadre scientifique rigoureux. Plutôt que de rejeter cet enthousiasme, il propose la ruliologie comme domaine de recherche accessible, fondé sur l'exploration systématique de règles computationnelles simples. Dans ce cadre, des non-professionnels peuvent faire de vraies découvertes, à condition de formuler leurs idées sous forme de règles calculables et de mener des expériences numériques reproductibles, plutôt que de rester dans la spéculation verbale.

Traduction de passages clés

La plupart des physiciens qualifieraient ces contributions de « théories farfelues » et les mettraient de côté, parfois en les accueillant avec mépris ou condescendance. Wolfram, lui, cherche une approche plus constructive : comment orienter cet enthousiasme vers une activité scientifique qui ait réellement du sens ?

Il introduit alors la notion de ruliologie : l'étude systématique de systèmes gouvernés par des règles computationnelles (souvent très simples). Selon lui, c'est une forme de science fondamentale, mais d'un type nouveau, dans laquelle des non-professionnels peuvent contribuer de manière significative.

Wolfram rappelle que, pour progresser en physique fondamentale (relativité, mécanique quantique, théorie quantique des champs, etc.), il est nécessaire de maîtriser un immense corpus de connaissances existantes. Sans cette base, il est presque impossible de proposer une théorie nouvelle qui soit cohérente avec ce que l'on sait déjà.

En revanche, la recherche en ruliologie, rendue possible par les outils informatiques modernes (notamment le Wolfram Language), offre une porte d'entrée plus accessible vers de vraies questions de science fondamentale. On peut y faire des « expériences computationnelles » et y observer des phénomènes nouveaux, sans forcément avoir suivi tout le cursus de la physique académique.

Wolfram critique aussi le fait que beaucoup de « théories » lui sont présentées uniquement sous la forme de textes verbaux vagues. Pour lui, ce type de description ne suffit pas : les mots sont ambigus et ne constituent pas un langage formel. La science computationnelle demande de formuler les idées en termes de règles explicites, que l'on peut mettre en œuvre et tester sur un ordinateur.

Plutôt que de recevoir des manuscrits de spéculation purement verbale, il préfère encourager l'envoi de travaux structurés de ruliologie : descriptions de règles, résultats de simulations, observations des comportements, documentation des motifs émergents, etc. Ce type de contribution peut réellement s'intégrer à un corpus scientifique cumulatif.

Enfin, Wolfram invite les lecteurs à se lancer eux-mêmes dans la ruliologie : explorer des systèmes simples (automates cellulaires, systèmes de réécriture, graphes ou hypergraphes), modifier du code existant, observer les comportements, et participer à la constitution d'une communauté scientifique nouvelle, centrée sur l'exploration de l'« univers computationnel ».

Plan structuré détaillé

I. Le phénomène des « théories amateurs »

De plus en plus de personnes envoient à Wolfram leurs « théories de l'univers ».
L'IA amplifie ce phénomène : elle aide à produire des textes longs, parfois plus polis ou plus structurés.
Ces initiatives témoignent d'un intérêt réel pour les questions fondamentales de la science.

II. Pourquoi ces théories échouent souvent

Elles restent au niveau d'intuitions qualitatives et de formulations verbales.
Elles ne prennent presque jamais en compte l'ensemble des connaissances de la physique moderne (relativité, quantique, etc.).
Elles ne se fondent ni sur des données expérimentales précises ni sur des modèles mathématisés.
Elles se contentent de langage courant, qui reste trop ambigu pour servir de base à une théorie scientifique.

III. Le dilemme de la communauté scientifique

La réaction standard est de rejeter ces contributions comme « non sérieuses ».
Cela évite de perdre du temps, mais peut aussi décourager des esprits curieux.
La frontière entre curiosité authentique et spéculation infondée est difficile à gérer.

IV. La proposition de Wolfram : la ruliologie

Définition : étude scientifique de systèmes régis par des règles computationnelles simples.
Ces règles peuvent produire des comportements extrêmement riches, parfois inattendus.
L'exploration de cet espace de règles constitue, pour Wolfram, une véritable science fondamentale nouvelle.
Ce domaine est particulièrement adapté aux passionnés et « scientifiques avocatifs », car il est moins dépendant de décennies de formation théorique classique.

V. Une nouvelle conception de l'expérimentation scientifique

Dans la ruliologie, expérimenter signifie explorer systématiquement des règles, en observant leurs effets.
On manipule des programmes simples plutôt que des dispositifs physiques.
Ces expériences sont reproductibles et peuvent être partagées, commentées et prolongées par d'autres.
Les résultats (motifs, structures, comportements émergents) peuvent avoir une portée conceptuelle très générale.

VI. Critique des théories purement verbales

Le langage naturel n'est pas suffisamment précis pour formuler des théories computationnelles.
Les formulations « poétiques » ou très générales laissent trop de place à l'interprétation.
Pour Wolfram, une théorie utile doit se présenter sous forme de règles ou de programmes que l'on peut exécuter, tester et comparer à d'autres.

VII. Comment contribuer réellement à la science selon Wolfram

Construire des règles computationnelles explicites (par exemple, des automates cellulaires ou d'autres systèmes discrets).
Lancer des simulations, explorer systématiquement les comportements obtenus.
Documenter les résultats : images, animations, descriptions des régularités observées.
Partager ces travaux au sein d'une communauté qui explore le même « univers de règles ».

VIII. Conclusion de Wolfram

La science computationnelle ouvre une nouvelle ère où l'exploration d'univers de règles devient une forme centrale de recherche.
Les passionnés, même non professionnels, peuvent y jouer un rôle important.
La condition est de passer des spéculations verbales à des systèmes formellement définis et expérimentalement explorés.
Ainsi, l'enthousiasme pour les « théories de l'univers » peut se transformer en contributions réelles à une science fondamentale émergente : la ruliologie.

Voir en ligne : I Have a Theory Too : The Challenge and Opportunity of Avocational Science » (14 août 2025).

Communiquer

bernard.vuilleumier — 2025-12-01T06:58:45Z

Communiquer, c'est transmettre des messages. Pour élaborer un message, nous recourons à des systèmes de signes et à divers langages. Le langage naturel fait appel à des phrases construites de mots, eux-mêmes constitués de lettres. Les symboles utilisés peuvent être des formes sonores émises par l'appareil vocal, des marques sur une feuille de papier ou des « bits » informatiques. De tels systèmes de signes permettant de représenter ou de transmettre de l'information sont appelés codes. La révolution numérique qui affecte de nos jours l'informatique et les télécommunications – réseaux mondiaux comme Internet, transmissions par satellites, réseaux numériques à intégration de services – oblige à concevoir des codes capables de transmettre de grandes quantités d'information avec un faible taux d'erreur. C'est le rôle dévolu aux codes correcteurs d'erreurs.

Voir aussi Communication sur Wolfram Demonstration Project

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Voir en ligne : Lettre au format pdf

Couple d'un échappement Frainier

Bernard Chabloz, bernard.vuilleumier — 2025-11-09T08:03:23Z

Construction des fenêtres

La fonction tangente hyperbolique se prête bien à cette construction.

Si on fait la somme Tanh-Tanh, on trouve évidemment 0.

Mais si on décale un peu les deux tangentes, on obtient un « pulse ».

En utilisant cette somme de tangentes hyperboliques décalées et en introduisant les paramètres $s, c, w, \sigma$ qui permettent respectivement de placer le pulse sur l'axe, de positionner son centre, de définir sa largeur et de le lisser on obtient une fenêtre :

Voir le code de la figure en langage Wolfram (LW) [1]

Couple fenêtré

En utilisant ce type de fenêtre, on va pouvoir « filtrer » le couple. Celui-ci pourra agir lorsque la fenêtre sera ouverte. Dans un échappement Frainier, la fenêtre s'ouvre lorsque le doigt pousse le bras : une première fois lorsque la pendulette se déplace de gauche à droite L-R (demi-période) et une seconde fois lorsqu'elle revient de droite à gauche R-L.

L'observation du mécanisme montre que la poussée n'a pas lieu durant toute la demi-période, qu'elle peut se produire à des instants différents selon le mouvement L-R ou R-L et qu'elle peut être asymétrique. Il faut donc envisager un temps actif par demi période, l'instant où débute l'impulsion et l'asymétrie des impulsions.

Dans cette figure, les impulsions durent 5% du temps sur chaque demi-période. Elles agissent au quart de la période (4 secondes) lors du mouvement L-R et aux trois quarts lors du retour R-L.

Voir le code de la figure en LW [2]

Blocage de phase
L'idée est de verrouiller les fenêtres en phase sur les passages $\theta=0$. En résolvant numériquement l'équation du mouvement, ou « récolte » les valeurs suivantes :

half qui va servir à caler la durée des fenêtres d'impulsion sur la demi-oscillation réelle (phase-lock).
zc qui va servir d'origine de temps local pour placer précisément les fenêtres au bon moment.
br (branche) qui va servir d'interrupteur : il active la fenêtre du bon côté (L-R ou R-L).

Chaque fois que l'angle $\theta$ passe par zéro (le pendule traverse la verticale), on fait les mises à jour suivantes :

half[t] -> t - zc[t] calcule la demi-période mesurée : c'est le temps écoulé depuis le dernier passage au centre. On met half = t (maintenant) moins zc (instant du passage précédent.
zc[t] -> t. Mémorise l'instant courant t comme nouveau passage au centre (zéro de $\theta$).
br[t] -> Sign[$\theta'(t)$]. Détermine le sens de passage : si la vitesse angulaire $\theta'(t)$ est positive, br = +1 (gauche-droite) ; si elle est négative, br =-1 (droite-gauche).

C'est comme si à chaque passage par la verticale, on enclenchait un chronomètre et on mesurait la demi-période, puis qu'on remettait le chronomètre à zéro et qu'on notait le sens de passage du pendule.

En mode phase-lock, les impulsions suivent les variations de période de l'oscillation.

[1] (*Manipulate pour explorer les effets des paramètres*) Manipulate[Plot[fen[s, c, w, \[Sigma]], {s, -10, 10}, PlotRange -> {{-10, 10}, {-0.1, 1.1}}, AxesLabel -> {"s", None}, PlotStyle -> {Thick}, Epilog -> {Dashed, Gray, Line[{{c - w/2, 0}, {c - w/2, 1}}], Line[{{c + w/2, 0}, {c + w/2, 1}}], Text[Style["centre c", 12, Black], {c, 1.05}], Text[Style["largeur w", 10, Gray], {c, 0.5}]}, ImageSize -> 500, PlotLabel -> Row[{"Fenêtre: centre = ", NumberForm[c, {3, 2}], ", largeur = ", NumberForm[w, {3, 2}], ", lissage = ", NumberForm[\[Sigma], {3, 2}]}]], (*Contrôles*) {{c, 0, "centre c"}, -5, 5, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, {{w, 4, "largeur w"}, 0.1, 10, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, {{\[Sigma], 0.5, "lissage \[Sigma]"}, 0.01, 2, 0.01, Appearance -> "Labeled"}, ControlPlacement -> Bottom, TrackedSymbols :> {c, w, \[Sigma]}, SaveDefinitions -> True, (*Définition de la fenêtre tanh*) Initialization -> (fen[s_, c_, w_, \[Sigma]_] := 1/2 (Tanh[(s - (c - w/2))/\[Sigma]] - Tanh[(s - (c + w/2))/\[Sigma]]);)]

[2] \[Tau]0 = 1; per = 4; Manipulate[ Plot[{couple[\[Tau]0, \[Mu], \[Delta]1, D1, \[Delta]2, D2], Sin[2 Pi/per t + Pi/2]}, {t, 0, 4}, PlotRange -> All], Delimiter, Style[Text["Paramètres de l'échappement"], 12, Bold], {{D1, .05, "\!$\*SubscriptBox[ StyleBox[\"D\",\nFontSlant->\"Italic\"], \(1$]\) (temps actif du \doigt en % L-R )"}, 0.01, .5, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{D2, .05, "\!$\*SubscriptBox[StyleBox[\"D\",\nFontSlant->\"Italic\"], \(2$]\) (temps actif du \doigt en % R-L)"}, 0.01, .5, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Delta]1, 0, "\[Delta]1 (avance - retard de l'impulsion en s)"}, -0.4, 0.4, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Delta]2, 0, "\[Delta]2 (avance - retard de l'impulsion en s)"}, -0.4, 0.4, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Mu], 0, "\[Mu] (asymétrie d'amplitude)"}, -0.9, 0.9, 0.001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, {{\[Sigma], .01, "\[Sigma] (lissage des angles)"}, .01, .05, .001, Appearance -> {"Labeled", Tiny}}, ControlPlacement -> Bottom, TrackedSymbols :> {tmax, D1, D2, \[Delta]1, \[Delta]2, \[Mu], \[Sigma]}, SaveDefinitions -> True, Initialization :> (n[t_] := Floor[2 t/per]; fen[s_, c_, w_, \[Sigma]_] := 1/2 (Tanh[(s - (c - w/2))/\[Sigma]] - Tanh[(s - (c + w/2))/\[Sigma]]); couple[\[Tau]0_, \[Mu]_, \[Delta]1_, D1_, \[Delta]2_, D2_] := Piecewise[{{\[Tau]0 (1 + \[Mu]) fen[t - n[t] per/4, per/4 + \[Delta]1, D1 per/2, \[Sigma]], EvenQ[Floor[2 t/per]]},(*L->R*) {-\[Tau]0 (1 - \[Mu]) fen[t - n[t] per/4, per/2 + \[Delta]2, D2 per/2, \[Sigma]], True} (*R->L*)}])]

Tableau synoptique des lettres du Club Math

bernard.vuilleumier — 2025-11-02T11:26:38Z

Actuellement, seules les lettres de janvier à novembre 1995 sont accessibles.

Tableau synoptique des lettres du Club Math de 1995 à 1998

	1995	1996	1997	1998
Janvier	Autosimilitude	Audition et illusions	Histoires de tortues	La recherche du « vrai »
Février	Géométrie fractale	Visualiser des données 3D	Ecouter des nombres	Représenter les nombres
Mars	Complexité	Le jeu du chaos	L'ordre et le chaos	Calcul numérique
Avril	Émergences	L'adaptation	Déceler l'ordre caché	Nombres, programmes et complexité
Mai	Vérité et consistance	Hasard et sélection	Forme et contrainte	Ordres de grandeur
Septembre			La mesure et l'erreur
Octobre	Joueurs, estimez vos chances !	L'infini	Randonnées
Novembre	Astrométrie	Déformations et dimensions	Quérir la simplicité
Décembre	Communiquer	La flèche du temps	L'effet papillon

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Astrométrie

bernard.vuilleumier — 2025-10-31T19:44:59Z

Pour étudier le mouvement des astres et l'interpréter, l'astronome doit d'abord repérer ces derniers, c'est-à-dire rapporter leur position apparente à des systèmes d'axes convenablement choisis : c'est là le but de l'astrométrie. Cette science s'intéresse à la direction des astres et non à leur distance. Comme notre œil n'est pas sensible aux distances d'objets très éloignés, les astronomes utilisent la notion de sphère céleste, qui est une sphère de rayon indéterminé sur laquelle se projettent tous les astres. En un lieu donné, l'aspect du ciel change d'un moment à l'autre : la sphère céleste semble tourner autour de la Terre en raison de la rotation de la Terre sur elle-même. Mais, sur cette sphère, la grande majorité des astres restent fixes les uns par rapport aux autres, d'où la notion de sphère des fixes. La position relative de certains astres n'est toutefois pas invariable. Ceux qui présentent un mouvement apparent par rapport à la sphère des fixes sont appelés astres mobiles. La Lune, le Soleil et les planètes sont les plus importants des astres mobiles.

Systèmes de coordonnées horizontales, horaires et équatoriales

Dans ces trois systèmes, la position d'un astre est repérée à l'aide de deux angles donnés dans des plans perpendiculaires passant par le centre de la sphère. Les deux premiers systèmes sont liés à la « sphère locale », le troisième est lié à la « sphère des fixes ».

Voir aussi : Equatorial Telescope Mounts from the Wolfram Demonstrations Project.

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