Cinématique vectorielle
Comment utiliser l’horaire en balistique ?
Équations paramétriques et équation de la trajectoire
Article mis en ligne le 12 octobre 2006
dernière modification le 17 août 2008

par Florian Matthey

Lorsqu’un mobile se déplace dans un champ de force uniforme - comme le champ de la pesanteur au voisinage de la surface terrestre - et qu’il est soumis à son seul poids, son horaire, qui correspond aux équations paramétriques du mouvement, permet d’obtenir plusieurs informations sur sa trajectoire.

Horaire d’un tir parabolique :

Lorsqu’un mobile se déplace au voisinage de la surface terrestre et qu’on néglige le frottement, il est soumis à une force constante qui est son poids. Son horaire est alors celui d’un mouvement dont le vecteur accélération est constant. Cet horaire s’écrit :

Horaire d’un mouvement dans un champ de force uniforme.
Le mouvement d’un projectile soumis à son seul poids est un mouvement uniformément accéléré (accélération constante).

En choisissant un système d’axes Oxy dont l’axe y est aligné sur le poids du mobile, on annule la composante gx de l’accélération et la composante gy est alors égale à -9.81 m/s^2 :

- gx=0

- gy=-9.81 m/s^2

Équations paramétriques et équation de la trajectoire :

En écrivant cet horaire en composantes, on obtient deux équations appelées équations paramétriques du mouvement (c’est le temps t qui est le paramètre). En éliminant t entre ces deux équations, on obtient l’équation de la trajectoire.

En résumé, les équations paramétriques nous permettent de trouver x et y en fonction du temps, c’est le temps qui est le paramètre.

Exercice :

Démontrez, en utilisant les équations paramétriques obtenues à partir de l’horaire ci-dessus, que la trajectoire est une parabole.
Exprimez, puis calculez, en utilisant les valeurs numériques suivantes x0=0, y0=0, v0=20 m/s,
gy=-9.81 m/s^2, tinitial=0, tfinal=3,5 s, Δt=0.5 s, α=60°
 :

- les composantes des vecteurs position, vitesse et
accélération.

L’horaire des vecteurs position nous est donné (selon l’horaire de départ) par :

- x(t)=x0+v0*cos(α)*t

- y(t)=y0+v0*sin(α)*t+(1/2)*(gy)*t^2

L’horaire des vecteurs vitesse est obtenu par la dérivée de l’horaire des vecteurs position :

- vx=v0*cos(α)

- vy=v0*sin(α)+2*(1/2)*(gy)*t

L’horaire des vecteurs accélération nous est donnée par la dérivée de l’horaire des vecteurs vitesse :

- ax=0

- ay=gy

En utilisant les valeurs numériques de l’énoncé dans les horaires ci-dessus, on aura une variation des coordonnées en fonction du temps (de 0 à 3 secondes avec un pas de 0.5 seconde), on obtiendra alors un tableau avec les valeurs suivantes (arrondies au centième près) :

En utilisant les coordonnées ci-dessus, on peut obtenir les vecteurs des horaires position, vitesse et accélération, comme on peut le voir sur le graphique
ci-dessous.

- Flèches bleue, vecteur position (x et y).
- Flèches rouge, vecteur vitesse (vx et vy).
- Flèches verte, vecteur accélération (ax et ay).
- En gris, la trajectoire nous décrit bien une parabole.

C’est grâce aux vecteurs position que l’on peut voir que notre trajectoire décrit bien une parabole.