Calculer l’aire d’un rectangle, d’un parallélogramme ou d’un quadrilatère, c’est-à-dire l’aire d’un domaine du plan délimité par quatre droites, est une chose aisée. Mais lorsque l’aire à calculer est délimitée par des lignes courbes la tâche est plus délicate.

Il existe plusieurs techniques pour résoudre ce type de problème. Nous allons en examiner une qui, en utilisant les coordonnées curvilignes, permet de ramener le calcul de l’aire d’une surface délimitée par des courbes à celui de l’aire d’un rectangle.

Considérons un domaine $D_{xy}$ du plan délimité par des courbes. L’intégrale :

mesure son aire. Si les courbes se transforment en droites dans un système de coordonnées curvilignes u, v, l’aire de $D_{xy}$ peut se calculer par :

où $A_{(xy)}(u, v)$ est le facteur local de conversion des aires lorsqu’on passe des coordonnées curvilignes u, v aux coordonnées cartésiennes x, y. Ce facteur, appelé déterminant fonctionnel ou jacobien, est donné par :

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